LÓXICA

 

Regras de transformación do cálculo lóxico proposicional

Aplicación da lóxica ós ordenadores

Exercicios de lóxica

 

 

Regras básicas 

Principais regras derivadas 

Falacias formais (razonamentos incorrectos) 

 

Nas regras con dobre raia a operación pode realizarse en senso inverso. Cando apareza  indica que todo o que está dentro do corchete non está demostrado e depende do suposto de que se parte, non poderá ser usado fora do mesmo.

 

 

Eliminación do conxuntor   (E Ù)

 

 

     

 

Introducción do conxuntor

(I Ù)

 

 

 

Modus Tollens

(M T)

 

 

 

Definición do disxuntor

(Def. Ú)

 

 

 

 

 

Dilemas (Dil.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eliminación do disxuntor (E Ú)

 

Introducción do disxuntor

(I Ú)

 

 

 

 

 

 

 

Siloxismo disxuntivo

(S D)

 

 

 

 

Definición do condicional (Def. ®)

 

 

 

 

 

 

 

 

Eliminación do condicional ou Modus Ponens (E ®) ou (M P)

 

 

 

Introducción do condicional (I ®)

 

 

Definición do conxuntor

(Def. Ù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Falacia formal

(Afirmación do consecuente)

 

 

 

 

Eliminación da dobre negación (E ØØ)

 

 

 

Introducción da negación

(I Ø)

 

Definición do bicondicional (Def. «)

 

 

Falacia formal

(Negación do antecedente)

 

 

 

 

 

 

 

 

Aplicación da lóxica ós ordenadores

 

INTRODUCCIÓN

Como é sabido  a linguaxe básica ca que traballan os ordenadores é a denominada linguaxe de máquina, que funciona coma unha linguaxe formal, binaria, é dicir, ven sendo un circuito eléctrico onde só hai dous valores: un circuito aberto e un circuito pechado..

Considerando un cicuito aberto como a falsedade lóxica  (valor 0), un circuito pechado como a verdade lóxica (valor 1), veráse a relación entre a linguaxe lóxica e a dos ordenadores. O operador conxuntor require interruptores en liña, o disxuntor require interruptores en paralelo. 

Se representamos un interruptor ou un conmutador que deixa pasar a electricidade por unha porta  en cor verde, un interruptor  ou conmutador que impide o paso da electricidade  por unha porta  en cor branco , unha saída de electricidade , por exemplo, unha bombilla encendida  coma un círculo amarelo (equivalente a valor de verdade 1), e unha apagada igual pero en cor  gris (valor de verdade 0), podemos presentar gráficamente distintas proposicións lóxicas. 

 


OPERADOR NEGADOR

Este é un operador monádico que vai diante de calquera fórmula ben formada, por exemplo p, á que lle cambia o seu valor de verdade.  Represéntase Ø e lese  "non"

 

  1. Proba a modifica-los valores de p e observa o resultado.

  2. En base ós anteriores resultados elabora a táboa de verdade para  non p


OPERADOR CONXUNTOR

É un operador binario que une dúas formulas ben formadas, por exemplo p e q , escríbese Ù  entre dúas fófmulas ben formadas e lese "e"

Exemplo: p Ù

  1. Proba a modifica-los valores de p e q e observa o resultado.

  2. En base ós anteriores resultados elabora a táboa de verdade para p e q

  3. Pon un exemplo en linguaxe natural.


OPERADOR DISXUNTOR

É un operador binario que une dúas formulas ben formadas, por exemplo p e q . Existen dous tipos de disxuntor, o exclusivo (w) e o inclusivo que se presenta aquí. O disxuntor inclusivo escríbese Ú  entre dúas fórmulas ben formadas e lese "ou"

Exemplo: p Ú

 

  1. Proba a modifica-los valores de p e q e observa o resultado.

  2. En base ós anteriores resultados elabora a táboa de verdade para p ou q

  3. Busca exemplos da linguaxe natural que se correspondan ó disxuntor inclusivo asi como ó disxuntor exclusivo. Observa que expresións se usan na linguaxe natural para ós disxuntores.


OPERADOR BICONDICIONAL

Tamén serve para unir dúas fórmulas ben formadas, de modo que é un operador binario, por exemplo p e q , escríbese  «  entre dúas fórmulas ben formadas e lese "se e só se"

Exemplo: p « q 

 

  1.  Proba a modifica-los valores de p e q e observa o resultado.

  2.  En base ós anteriores resultados elabora a táboa de verdade para p se e só se q


OPERADOR CONDICIONAL

Denomínase tamén implicador, é un operador binario que une dúas fórmulas, por exemplo p e q , escríbese  ®   entre dúas fórmulas ben formadas e lese "se ... entón ..."

Exemplo: p ®  q        (se p entón q)

 

  1. Proba a modifica-los valores de p e q e observa o resultado.

  2. En base ós anteriores resultados elabora a táboa de verdade para se  p entón q

 

 

 

 

 

 

Exercicios de lóxica

 

Táboas de verdade   Deduccións   Formalización e deducción  Solucións

 

 

Táboas de verdade

Fai as táboas de verdade das seguintes fórmulas e indica de que tipo son :

Exercicio 1

  (Ø p « Ø q ) ® [( p Ú Ø q ) Ù ( q Ú Ø p )]

Exercicio 2

  [ Ø ( p « Ø q ) Ù p ] ® ( q Ú Ø q )

Exercicio 3

 ( p Ù Ø q ) « ( Ø p Ú q )

Exercicio 4

[ (p ® q ) Ú ( Ø q ® Ø p ) ] « Ø q

 

 

Deduccións

Exercicio 5

Deduce a conclusión :

-- 1. (p ® q) Ù (q ® Ø r)

--2. r Ù Ø [Ø p Ù Ø (t Ù s)]       Conclusión: s

 

 Exercicio 6

Deduce a conclusión :

-- 1. Ø (s Ù q )

--2. Ø q ® Ø t

--3. Ø s ® p                           Conclusión: Ø t Ù Ø p

--4. Ø p

 

 

Formalización e deducción

 Exercicio 7

Formaliza  e analiza o argumento exposto e indica se e correcto ou non e por que mediante o uso das regras de deducción :

"A profesora de filosofía díxome que, se eu non facía tódolos traballos, non me aprobaría a asignatura. Realice tódolos traballos, de modo que debería aprobármela. ¿Non é así?"

 Exercicio 8

Pasa a linguaxe formal e deduce a conclusión  (indica que variable lle das a cada proposición) :

"A situación é moi complicada e non existe solución. Evidentemente careces de sentido do humor e tes sentido do humor ou acabas desesperándote. Do que se deduce que a situación é moi complicada e estás desesperado"

 

 Exercicio 9

Pasa a linguaxe formal  e deduce a conclusión  (indica que variable lle das a cada proposición):

"Ou troca a situación política mundial ou aumentará a inmigración. Non hai progreso na calidade de vida dos paises do "sur". Se troca a situación  política mundial, os paises do "sur" terán mellor calidade  de vida. Se aumenta a inmigración, cómpre promover actitudes de tolerancia. De modo que é necesario educar na tolerancia.

 

 Exercicio 10

Formaliza  e analiza o argumento exposto . Sinala cales son as conclusións correctas mediante o uso das regras de deducción :

"O  detective Pazos exercita as súas capacidades deductivas, no caso que hoxe lle ocupa dispón destes datos:

--1 Ou o asasinato cometeuse de noite na máis absoluta oscuridade ou o principal sospeitoso é cego.

--2 Ou o principal sospeitoso non é ceego ou minte ó declarar que non viu nada.

--3 Ou non minte ou o detector de mentiras "Pazo’s" está estropeado.

--4 O caso é que o citado detector é infalible (non pode estar estropeado xamais)

¿Minte ou non minte o sospeitoso? ¿É cego ou non o é? ¿Cometeuse o asasinato de día ou de noite?

 

Solucións

Exercicios: 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 / 10        

Exercicio 1

            (Ø p « Ø q ) ® [( p Ú Ø q ) Ù ( q Ú Ø p )]           É unha tautoloxía ou lei lóxica

 

   ( Ø p

«

Ø q )

®

[( p

Ú

Ø q )

Ù

( q

Ú

Ø p )]

     0 1

 1

 0 1

1

   1

1

 0 1

1

  1

1

 0 1

     1 0

 0

 0 1

1

   0

0

 0 1

0

  1

1

 1 0

     0 1

 0

 1 0

1

   1

1

 1 0

0

  0

0

 0 1

     1 0

 1

 1 0

1

   0

1

 1 0

1

  0

1

 1 0

 


 

Exercicio 2

                [ Ø ( p « Ø q ) Ù p ] ® ( q Ú Ø q )                  É unha tautoloxía ou lei lóxica

 

[ Ø

( p

«

Ø q )

Ù

p ]

®

( q

Ú

Ø q )

   1

  1

 0

 0 1

1

1

 1

   1

1

 0 1

   0

  0

 1

 0 1

0

0

 1

   1

1

 0 1

   0

  1

 1

 1 0

0

1

 1

   0

1

 1 0

   1

  0

 0

 1 0

0

0

 1

   0

1

 1 0

 


 

Exercicio 3

        ( p Ù Ø q ) « ( Ø p Ú q )                  É unha inconsistencia ou contradicción lóxica

 

( p

Ù

Ø q )

«

p

Ú

q )

  1

0

 0 1

 0

  0 1

1

1

  

0

 0 1

 0

  1 0 

1

1

  1

1

 1 0

 0

  0 1 

0

0

  0

0

 1 0

 0

  1 0

1

0

 


Exercicio 4

[ (p ® q ) Ú ( Ø q ® Ø p ) ] « Ø q                         É unha consistencia lóxica

  

[ (p

®

q )

Ú

( Ø q

®

Ø p ) ]

«

Ø q

    1

 1

1

1

   0 1

 1

 0 1

 0

 0 1

    0

 1

1

1

   0 1

 1

 1 0

 0

 0 1

    1

 0

0

0

   1 0

 0

 0 1

 0

 1 0

    0

 1

0

1

   1 0

 1

 1 0

 1

 1 0

 


 

Exercicio 5

---1

  

(p ® q) Ù (q ® Ø r)

Conclusión: s

--2

 

r Ù Ø [Ø p Ù Ø (t Ù s)]

 

3

 

r

Eliminación Ù  2

4

 

Ø [Ø p Ù Ø (t Ù s)]

Eliminación Ù  2

5

 

p Ú  (t Ù s)

Definición Ù  4

6

 

q ® Ø r

Eliminación Ù  1

7

 

Ø q

Modus Tollens  6, 3

8

 

p ® q

Eliminación Ù  1

9

 

Ø p

Modus Tollens  8, 7

10

 

t Ù s

Silogxismo Disxuntivo  5, 9

11

 

s

Eliminación Ù  10

 

 

 


  Mª Ángeles Costa Giráldez
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002