Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Geometría
 
1. PROYECCIONES
Dado un punto P y una recta r, se llama proyección del punto P sobre la recta r al punto P', pie de la perpendicular trazada desde P a r. Proyección del segmento AB es el segmento A'B' cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B. 
En la escena Descartes cambia la orientación y el tamaño del segmento AB moviendo los puntos de control A y B.


1.- Calcula el tamaño de la proyección de un segmento de tamaño 5 sobre la recta de la figura, cuando es perpendicular a ella y cuando es paralela. ¿Depende la proyección de la distancia a la recta?

 
2. Teorema de la altura
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes en que divide a ésta. En el triángulo rectángulo de la escena ABC se ha trazado la altura AD sobre la hipotenusa BC, cumpliéndose para cualquier triángulo rectángulo la igualdad:

La razón por la que se cumple esta igualdad es porque la altura AD divide al triángulo ABC en otros dos que son semejantes y por tanto sus lados son proporcionales. Son semejantes porque tienen los ángulos iguales (ambos son rectángulos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).

2.-Mueve el punto de control A y  observa cómo varían los valores de los segmentos AD, BD y DC pero se mantienen iguales entre sí, los cocientes BD/AD y AD/DC. 

3.- Modifica el valor de la hipotenusa y mueve el punto A para obtener otros triángulos rectángulos. 
4.- Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo de lados 10, 8 y 6, traza la altura sobre la hipotenusa y comprueba que se cumple el teorema de la  altura. Contrasta los valores con los de la escena Descartes.
3. Teorema deL CATETO
En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Como en el caso anterior, la altura trazada sobre la hipotenusa divide al triángulo en otros dos semejantes y se cumplen las igualdades siguientes:

Mueve el punto de control A y observa cómo varían los valores de cada cateto y sus proyecciones sobre la hipotenusa, verificándose en todo momento las igualdades antes indicadas. Modifica el valor de la hipotenusa y mueve el punto A para obtener otros triángulos rectángulos.

5.- Si la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos de medidas 7 y 4, aplica el teorema del cateto para hallar los valores de cada uno de los catetos. 

6.- Comprueba en la escena los valores calculados. 
7.- Halla el área de dicho triángulo.
       
           
  Miguel García Reyes
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001