La ecuación de segundo grado.
Ecuaciones bicuadradas
 
Ecuaciones bicuadradas
Se denominan ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.

Ejemplos: x4 - 5x2 +4 = 0 . .; . . .x4 - 4 = x2 - 1

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.

Ver representada en la siguiente escena la primera ecuación del ejemplo: x4 - 5x2 +4 = 0

"Atención que ahora llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x4, x2 y término independiente"

Puede observarse en la escena que ahora la gráfica ya no es una parábola que que ¡corta al eje X en cuatro puntos!

Naturalmente eso significa que la ecuación tiene cuatro soluciones:

x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

Busca las soluciones arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior)

Resolución numérica

Para resolver las ecuaciones bicuadradas se procede de acuerdo a los siguientes pasos (los vemos con el ejemplo anterior).

Ejercicio 8.- Resolver numéricamente la ecuación : x4 - 5x2 +4 = 0

a) Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro (ya está).

b) Llamar a x2 = z (podría ser otra letra cualquiera) , por lo que x4 = z2

c) Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z2 - 5z + 4 = 0 (se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: z = 1 ; z = 4)

d) A partir de los valores de z, obtener los de x.:

z = x2 = 1 ; de donde : x = raiz cuadrada de 1 = ± 1 o

z = x2 = 4, de donde : x = raiz cuadrada de 4 = ± 2

Por tanto obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

Casos posibles para las soluciones

Teniendo en cuenta los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado, para las ecuaciones bicuadradas, se podrán obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.

· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos positivas

· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una positiva y una 0 (la raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una)

· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa (la raíz cuadrada de un número negativo no existe).

· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 o cuando tenga una solución 0 y otra negativa..

· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos negativas, una sola negativa o ninguna solución.

En la escena adjunta se presenta el caso de tres soluciones: x4 - 4x2 = 0

Se presenta en rojo la ecuación bicuadrada y en azul la de segundo grado correspondiente (observa que ahora escribimos las ecuaciones completas en las dos ventanas inferiores.

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Ejercicio 9.- Resolver numéricamente la ecuación anterior: x4 - 4x2 = 0, comprobando las soluciones obtenidas gráficamente.

Ejercicio 10.- Utiliza la escena adjunta para resolver gráficamente las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 - 3x2 + 2 = 0
b) x4 - 10x2 = -9
c) x4 = x2
d) x4 - 2x2 - 8 = 0

Escribe en la ventana izquierda la ecuación bicuadrada y en la otra (derecha) la de segundo grado que hay que resolver también.

Resuélvelas numéricamente comprobando que coinciden las soluciones

"Tendrás que observar los puntos de corte con el eje x. Cuando no sean enteros, puedes ver el valor aproximado pinchando con el ratón en el punto y viendo las coordenadas".
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  Leoncio Santos Cuervo
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001