SIMETRÍAS
Geometría
 
1. SIMETRÍA AXIAL
Una simetría respecto de un eje r transforma un punto A en otro A´ de forma que el eje r es mediatriz del segmento AA´. La simetría conserva las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría posee dos puntos de control que permiten moverlo a cualquier posición.
1.- Observa el orden de los vértices del triángulo amarillo y el del triángulo turquesa, transformado mediante la simetría axial. ¿Son iguales o distintos? Mueve el eje de simetría y mira el resultado.

2.- Pulsa el botón Inicio y mueve con el ratón el punto B hasta que esté alineado con A y C. Observa cómo la simetría cambia el orden de los puntos.

3.- Mueve los puntos A, B y C de manera que el triángulo simétrico coincida con el inicial, por ejemplo sitúa C sobre el eje de simetría y los puntos A y B sobre B´ y A´ respectivamente. Observa que el triángulo ABC es un triángulo isósceles y que su transformado A´B´C´coincide con él. En este caso se dice que el triángulo ABC tiene un eje de simetría. ¿Cuántos tendría un triángulo equilátero?
4.- Construye un triángulo equilátero de lado 6 moviendo los vértices y controlando las medidas. Comprueba que tiene tres ejes de simetría y di por donde pasan. Para ello basta con hagas pasar el eje de simetría móvil sucesivamente por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.
2. EJES DE SIMETRÍA
Si el simétrico de una figura respecto e un eje coincide con ella misma, entonces se dice que tiene un eje de simetría. En la escena Descartes disponemos de cuatro puntos que forman un rectángulo y un eje de simetría r que puede desplazarse a izquierda y derecha.
5.- Desplaza el eje de simetría hasta que la figura simétrica del rectángulo ABCD coincida con ella misma. En ese momento podemos decir que r es  un eje de simetría del rectángulo. ¿Por dónde pasa? ¿Sabrías decir si tiene alguno más?

6.-Pulsa el botón inicio y construye un triángulo isósceles de base 4 haciendo coincidir los vértices A y B del rectángulo. Busca, siguiendo el método anterior, si tiene algún eje de simetría y averígua por donde pasa.¿Tiene algún otro eje de simetría? ¿Y si fuera  un triángulo equilátero?
3. Simetrías en el plano cartesiano
Las simetrías que tienen por ejes los ejes cartesianos tienen expresiones sencillas. Si llamamos al eje de ordenadas r y al eje de abscisas s los transformados mediante esas dos simetrías del punto A aparecen como Ar y As.

7.- Halla los simétricos respecto a los ejes r y s de los siguientes puntos: A(1,1), B(-2,3), C(2,-1), D(-2,-3).

8.- Si se tratara de un punto cualquiera de coordenadas (x,y) halla sus coordenadas mediante las simetrías de ambos ejes.

9.- Calcula y dibuja en tu cuaderno las coordenadas de los cuadrados simétricos al de vértices A(1,1), B(1,4), C(4,4) y D(4,1) respecto a los ejes r y s
4. Composición de simetrías
Al aplicar dos simetrías pueden presentarse varios casos:
  • Que se aplique dos veces la misma simetría, en cuyo caso se trata de la identidad
  • Si dos simetrías tienen ejes paralelos, su composición se convierte en una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre ejes.
  • Que los ejes se corten, entonces su producto es un giro de centro el corte de los ejes y ángulo el doble del que forman los ejes

En esta escena Descartes vamos a poder estudiar los dos primeros casos ya que se muestran dos ejes r y s paralelos que transforman respectivamente en el triángulo ABC en los A´B´C´ y A´´B´´C´´ respectivamente. 

10.-Mueve los vértices del triángulo amarillo y mira como se conserva la forma y el tamaño de los correspondientes. 

11.- Arrastra los ejes en ambos sentidos para comprobar que se cumple la relación entre dimensión del desplazamiento y distancia entre ejes.

 

12.- Arrastra el eje s hasta situarlo encima del r y observa cómo coinciden los triángulos ABC y A´´B´´C´´

13.-Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno una situación similar a la presentada en la escena. Comprueba que la traslación equivalente es de tamaño doble que la distancia entre ejes. 

14.- Investiga qué pasaría si primero se aplicara la simetría s y luego la r. ¿Daría el mismo resultado?

 
En esta otra escena Descartes vamos a poder ver, en el caso de que los ejes no sean paralelos, cómo el producto de dos simetrías da lugar a un giro cuyo ángulo es el doble del que forman ambos ejes.

15.- Mueve en la escena descartes los puntos r y s para componer distintas simetrías y observa la magnitud del ángulo de giro obtenido.

       
           
  Miguel García Reyes
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001