ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
CONCEPTO.
Llamamos ecuación de segundo grado con una incógnita a la igualdad que se nos forma al sustituir la " y " de una función cuadrática por 0.
Esto es una función cuadrática
Esto sería una ecuación de segundo grado
Llamamos raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a los dos valores: X1 y X2 , si existen , de la incógnita " X " para los que la igualdad de la ecuación es cierta. Podemos comprobar gráficamente la existencia de las dos raíces, si observamos que la parábola corta al eje de las abscisas. Los puntos de corte corresponderán a los valores de X1 y X2.
TIPOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita pueden ser de cuatro tipos, que son los siguientes:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (escena 1)
Propuesta de trabajo.
1. Observa cómo si el coeficiente de
es positivo, la parábola está abierta hacia arriba y si es negativo estará abierta hacia abajo.
2. Comprueba que si el coeficiente de " x " es cero el eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas y que el vértice de la parábola es siempre el punto (0,c).
3. Comprueba que si el término independiente es cero, todas las parábolas cortan al eje de abscisas en dos puntos y uno de los puntos de corte es siempre el origen de coordenadas, o sea el punto (0,0).
( Puedes utilizar las flechitas que hay en la parte inferior de la escena para modificar los valores de a, b y c.)
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar dos valores de " x ", x1 y x2 , que llamamos raíces de la ecuación , para los cuales la igualdad es cierta.
1.-RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA FORMA
Las raíces x1 y x2 , o soluciones de una ecuación de segundo grado
de la forma
, se obtienen mediante las expresiones:
En donde:
- a es el coeficiente de
- b es el coeficiente de x en la ecuación.
- c es el término independiente.
- La solución gráfica de la ecuación son los valores x1 y x2 de " x" , valores que corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (escena 2)
Propuesta de trabajo.
1. Comprueba que la ecuación no tiene solución gráfica cuando al representar la función correspondiente la parábola no corta el eje de abscisas en ningún punto.
( Puedes utilizar las flechitas que hay en la parte inferior de la escena )
2. Observa que la ecuación de segundo grado no tiene solución en el conjunto Q (Conjunto de números racionales) cuando en la expresión:
el radicando (b2-4ac) es menor que 0, es decir, es un número negativo.
3. Calcula numéricamente en tu cuaderno de trabajo los resultados para las siguientes ecuaciones:
Comprueba los resultados obtenidos gráficamente en la pizarra (escena 2)..
4. Intenta realizar la representación gráfica de las anteriores ecuaciones en tu cuaderno de trabajo. (Compáralas con las de la " pizarra" ).
2.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO
Todas las ecuaciones del tipo
tiene como solución las raíces:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (escena 3)
Propuesta de trabajo.
1. Observa cómo si el coeficiente de "
( Puedes utilizar las flechitas que hay en la parte inferior de la escena )
2. Comprueba que todas las parábolas de este tipo de funciones cortan al eje de abscisas en dos puntos (excepto si b=0 ). Observa también que uno de los puntos de corte siempre es el origen de coordenadas.
3. Resuelve numéricamente las ecuaciones siguientes en tu cuaderno de trabajo, y comprueba posteriormente tus resultados con los de la " pizarra ".:
4. Representa gráficamente las ecuaciones anteriores en tu cuaderno de trabajo.
( Puedes utilizar los datos de la tabla de valores que figuran en la pizarra )
3.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO
Las ecuaciones del tipo
pueden:
- Tener solución en Q ( Conjunto de números racionales ), en cuyo caso las raíces son simétricas:
- No tener solución en Q por ser el radicando negativo
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (escena 4)
Propuesta de trabajo.
1. Observa cómo el eje de la parábola de cualquier función de este tipo siempre coincide con el eje de ordenadas.
( Puedes utilizar las flechitas que hay en la parte inferior de la escena )
2. Comprueba que el vértice de la parábola es siempre un punto del eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son (0,c) , siendo c el término independiente.
3. Comprueba que cuando el coeficiente a y el término independiente c tienen el mismo signo, la ecuación de segundo grado no tiene soluciones en Q .( Conjunto de números racionales )
4. Resuelve numéricamente las ecuaciones siguientes en tu cuaderno de trabajo y comprueba luego los resultados gráficamente:
1.- 2x2-8=0
2.- -5x2-8=0
3.- x2+3=0
4.- 4x2-9=0
5. Representa gráficamente las ecuaciones anteriores en tu cuaderno de trabajo.
( Puedes utilizar los datos de la tabla de valores que figuran en la pizarra )
4.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO
Todas las ecuaciones del tipo
tiene solución doble , que es siempre:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (escena 5)
Propuesta de trabajo.
1. Observa cómo si el coeficiente de"
2. Comprueba que todas las ecuaciones de este tipo tienen siempre las mismas soluciones : x1=x2=0 ( Puedes utilizar las flechitas que hay en la parte inferior de la escena )
3. Representa gráficamente en tu cuaderno de trabajo las ecuaciones siguientes:
( Puedes utilizar los datos de la tabla de valores que figuran en la pizarra )
Autor: Pedro Armas Vega .........................................................................................................pearve@teleline.es
