Números Primos

	NÚMEROS PRIMOS
	Números

I. INTRODUCCIÓN.

Un número primo, es aquel que solamente tiene dos divisores: el 1 y el propio número. Lo contrario de número primo se denomina número compuesto.

El teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo número natural se puede descomponer como producto de números primos.

El matemático griego Euclides en el año 300 a. C. (en la proposición 20 del libro IX de los Elementos) demostró la existencia de infinitos números primos.

II. CRIBA DE ERATÓSTENES.

2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31
32	33	34	35	36	37
38	39	40	41	42	43
44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55
56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67
68	69	70	71	72	73
74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85
86	87	88	89	90	91
92	93	94	95	96	97
98	99	100	101	102	103

Eratóstenes de Cirene(276-194 a. de C.) matemático griego, ideó una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes.

Consiste en construir una tabla con todos los números en seis columnas y a continuación, empezando por el 2 tachamos todos los números que estén a una distancia de 2 (el 4, 6, 8, etc.) después seguimos con el 3 tachando todos los números que estén a una distancia de 3 (el 6, 9, 12, etc) y así sucesivamente con 5, con 7,con 11,...Así se marcan todos los múltiplos quedando sin marcar los primos.

El resultado es ésta tabla que aparece a la izquierda con los números primos en color azul y los restantes (compuestos) en color rojo.

1.- Prueba a construir tú mismo la Criba de Eratóstenes en tu cuaderno de trabajo siguiendo el método de construcción expuesto.

III. ¿CÓMO AVERIGUAR SI UN CIERTO NÚMERO ES PRIMO?

Un procedimiento sencillo para averiguar si un número N es primo sería comprobar, realizando la división, que no es divisible por los números primos más pequeños que éste.

Realmente no es necesario probar con todos los números primos más pequeños que N, basta con probar los que sean más pequeños que la raíz cuadrada de N.

Además bastará con llegar a una división en la que el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que hay que dividir. Si esa división no es exacta, el número N resultará ser primo.

Aquí tienes una escena que te va a permitir averiguar si un número mayor o igual a 3 (como ya sabes 2 es el único par primo) y menor o igual que 10.000, es número primo o no.

Usa los pulsadores para aumentar o disminuir el valor del número. También puedes introducir el número en el cuadro de diálogo y pulsar "¿ "(Intro).

El botón Inicio restaura los valores iniciales.

2.- Realiza la comprobación con números primos que tu conozcas como los que aparecen en la Criba de Eratóstenes y con otros números que tú quieras.

Anota en tu cuaderno los números primos que hayas encontrado.

La siguiente escena muestra el algoritmo de la división entera. La vas a utilizar para comprobar tú mismo si un número dado N, es primo o compuesto. Del mismo modo en que lo realiza la escena anterior, mediante el método de la división, ve realizando las divisiones entre los números primos menores que la raíz cuadrada de N y observando el cociente y el resto.

3.- Comprueba, utilizando el método de la división, si los siguientes números son primos, anotando en tu cuaderno los resultados:

239	1621	1999	2001
1067	2011	911	769
677	279	387	771

Puedes presionar los pulsadores para introducir el dividendo y divisor, pulsando después la tecla Intro.

Éste sencillo procedimiento que has visto antes se vuelve arduo y difícil si el número N es un número muy grande. Necesitaríamos pues la ayuda de un potente ordenador y aún así nos podría llevar incluso miles o millones de años realizar el proceso.

Por ello existen otros procedimientos matemáticos complejos para determinar si un número es primo o compuesto:

Método de Fermat
Método de la prueba p-1
Método de la prueba p+1
Método de las curvas elípticas
Método de la criba cuadrada
...

4.- Investiga: Busca información sobre alguno de estos métodos u otro en particular.

IV. LOS GRANDES NÚMEROS PRIMOS Y LOS NÚMEROS DE MERSENNE.

El 8 de septiembre de 1985 se descubría en Houston (Tejas) el mayor número primo hallado hasta la fecha: 2²¹⁶⁰⁹¹ – 1 un número de 65050 cifras.

Éste número era uno de los llamados números de Mersenne en honor al matemático francés Marine Mersenne (1588-1648). Son números de la forma 2ⁿ – 1 siendo n entero. De estos números sólo un pequeño porcentaje son primos.

En 1963 ya se conocían 22 primos de este tipo. El número 34º es : 2^1257287 – 1 y tiene 378.632 cifras.

El último descubierto (el número 38) es: 2^6972593 – 1.

Existe un proyecto de investigación en Internet en el que cualquiera puede participar con su ordenador personal para hallar números de Mersenne primos. Puedes consultarlo en :

http://www.ctv.es/USERS/gbv/GIMPS/prime.htm

LOS DIEZ NÚMEROS PRIMOS MÁS GRANDES:

*Número primo*	*Número de dígitos*	*Año descubrimiento*
2^13466917-1	*4053946*	*2001*
2^6972593-1	*2098960*	*1999*
2^3021377-1	*909526*	*1998*
2^2976221-1	*895932*	*1997*
2^1398269-1	*420921*	*1996*
1361846⁶⁵⁵³⁶+1	*402007*	*2002*
1266062⁶⁵⁵³⁶+1	*399931*	*2002*
5^.2^1320487+1	*397507*	*2002*
1057476⁶⁵⁵³⁶+1	*394807*	*2002*
857678⁶⁵⁵³⁶+1	*388847*	*2002*

5.- Investiga: Busca una relación entre los grandes números primos y la ciencia de la Criptografía en tu libro de matemáticas o en la biblioteca.

V.- PROBLEMAS ABIERTOS SOBRE PRIMOS

En Matemáticas se suele denominar “Problema abierto” a los problemas o resultados planteados que no han sido demostrados todavía.

Éstos son sólo algunos de los resultados enunciados sobre primos que no han sido demostrados todavía. Muchos de ellos son CONJETURAS afirmaciones de las cuales se está convencido de su certeza pero no se han conseguido demostrar.

1.- Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2 (tales como 3 y 5; 17 y 19)

2.- CONJETURA DE GOLDBACH :

Todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos.

3.- Existe un número infinito de números primos que responden a la forma de un número al cuadrado más uno.

4.- Siempre existe un número primo entre dos números cuadrados consecutivos.

Tal vez alguno de estos problemas se logre resolver en fechas próximas, como sucedió con el Teorema de Fermat planteado en 1640 y considerado demostrado completamente en 1995 por Andrew Wiles, un profesor de Cambridge (Gran Bretaña):

" No existen números enteros x, y, z, que sean solución de la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ , cuando n es mayor que 2".

6.-Intenta poner dos o tres ejemplos de números que estén en las condiciones de cada uno de las cuatro proposiciones anteriores. Escríbelos en tu cuaderno.

Además piensa a qué otro famoso teorema se parecería la ecuación del teorema de Fermat si n fuese igual a 2.¿Tendría solución o soluciones la ecuación en caso de que fuese n=2? ¿Puedes poner un ejemplo?

	Luis Javier Rodríguez González

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002