PROGRAMACIÓN LINEAL
Algebra
 

1. SEMIPLANOS. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
 Una recta es el conjunto de puntos (x,y) del plano que verifican la ecuación

Ax+By=C es recta

La recta divide el plano en dos semiplanos o conjuntos de puntos que verifican las inecuaciones

Ax+By<C es semiplano

Ax+By>C es semiplano

1.- En la siguiente escena puedes ver una recta, tres puntos, las ecuaciones de esa recta y de los semiplanos y unas expresiones con los cálculos A*x+B*y que hay que hacer para ver el valor que toma la expresión Ax+By en el punto (x,y) seleccionado. Estudia atentamente la escena hasta familiarizarte con ella. Verás que los cálculos están hechos con un decimal

OBJETIVO:localizar la ecuación de cada semiplano. Para ello sigue las indicaciones que están despues de la escena

2.- Situa la flecha sobre el punto P de coordenadas (x,y), arrástralo sobre la recta ( mantén pulsado el botón izquierdo) y comprueba en la parte superior izquierda que al sustituir sus coordenadas en la ecuación se verifica la igualdad Ax+By=C

3.- Repite la comprobación con el punto Q arrastrándolo por el semiplano correspondiente y comprueba en la parte inferior izquierda que para esos puntos se verifica la desigualdad Ax+By<C

4.-  Repite con el punto R y comprueba en la parte superior derecha que para esos puntos se verifica la desigualdad Ax+By>C

5.-Puedes modificar la recta seleccionando otros valores de A, B y C (usa las flechas o tecléalos como te expliqué al principio) y comprobar a qué expresión corresponde cada semiplano. 


2. LOCALIZACIÓN DE UN SEMIPLANO CON EL PUNTO (0,0)
 Puesto que todos los puntos de un mismo semiplano verifican la misma desigualdad es suficiente comprobar con uno de ellos para localizar la desigualdad que lo define. Se suele elegir el punto (0,0) por la sencillez de los cálculos. Si la recta pasa por (0,0) hay que utilizar otro punto cualquiera.
1.En esta escena vas a ver una recta, las ecuaciones de la recta y de los semiplanos y el valor que toma la expresión Ax+By en el punto (0,0) y que debes comparar con C.

OBJETIVO:Localizar la ecuación de cada semiplano observando el punto (0,0)

2.- Observa el valor que toma la expresión Ax+By, compárala con C y elige la desigualdad (>ó <) que representa al semiplano que contiene el punto (0,0). La otra desigualdad representa al semiplano que no contiene el punto (0,0). Arrastrando con el ratón mueve las ecuaciones a los semiplanos correspondientes. Dibuja en tu cuaderno la recta actual y escribe el nombre de los dos semiplanos usando las desigualdades.

3.- Cambia la ecuación de la recta tecleando otros valores para A , B y C y trata de localizar la desigualdad correspondiente a cada semiplano. En tu cuaderno dibuja esta nueva recta y escribe las desigualdades en cada semiplano.

4.- Elige alguna ecuación que tenga A, B o C negativo , localiza nuevamente la expresión de cada semiplano y anota en tu cuaderno las soluciones.


3.  RECINTOS DEFINIDOS MEDIANTE DESIGUALDADES AX+BY>=C O AX+BY<=C

La expresión Ax+By>=C ( también puede ser Ax+By<=C) se llama inecuacion de primer grado con dos incógnitas y sus soluciones son parejas de números (x,y) que se corresponden con los infinitos puntos de la región > y la recta =.

A partir de ahora vamos a estudiar los sistemas de inecuaciones, es decir las soluciones de un conjunto de inecuaciones. Estas habrán de ser parejas de números ( puntos del plano) que verifican todas las desigualdades del sistema y estarán situadas en una región del plano o recinto limitado por algunas de las rectas del sistema.

Estos sistemas con tres inecuaciones dividen el plano en 7 recintos limitados por algunas de las rectas representadas. El problema consiste en localizar cuál de ellos hace verdaderas las tres desigualdades.

1.- En esta escena vas a ver tres inecuaciones , las rectas asociadas a cada una de ellas y un punto P(x,y) que puedes mover por el plano arrastrándolo con el ratón o tecleando en la ventana x o y el valor que te interesa. En la parte superior puedes ver el valor que toma cada expresión al sustituir las coordenadas de P=(x,y).

OBJETIVO:localizar Localizar el recinto que contiene todas las soluciones del sistema de inecuaciones.

2.- Selecciona puntos P en cada recinto hasta localizar aquel que hace verdaderas las tres desigualdades. Puedes probar con (3,1) (0,2) (0,0) (2,2) (4,4) (1,4) u otros.

3.- Arrastra con el ratón el punto P por el recinto seleccionado y verás que en todos los puntos se cumplen las tres desigualdades.

4.- Observa que en la escena hay recintos abiertos (no están limitados por rectas en alguna dirección). En el ejemplo la solución es un recinto cerrado de forma triangular. Pon S=1 y podrás verlo. Si modificas alguna desigualdad poniendo > en lugar de <, o suprimiendo el =, la solución sería un recinto abierto. Pon S=2 y aparecerá la solución del sistema en el que se ha quitado el = a la primera inecuación. Pon S=3 y verás la solución si cambiamos > por < en la primera ecuación. En la quinta escena encontrarás otro ejemplo.

  Todos los puntos del recinto son soluciones del sistema. Los recintos pueden ser cerrados o abiertos.


       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001