SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIONES LINEALES
Las ecuaciones siguientes son lineales:
2x-3 = 0, 5x+4y = 20, 3x+2y+6z = 6, 5x-3y+z-5t = 0
pues tienen la peculiaridad de que son polinómicas de grado 1.
| Ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas |
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas (si los hay) que hacen cierta la igualdad.
Ejemplo:
La ecuación 2x + 2 = 0, solución x = - 1
La ecuación 3x - y = - 5, solución x = 0 , y = 5
Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano. Y sus soluciones son los puntos del plano, por los que pasa la recta.
ECUACIONES EQUIVALENTES
| Dos ecuaciones son equivalentes cuando
tienen la misma solución ( o mismas soluciones) Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera. |
* Dada la ecuación 3x + 6y = 6
Decir cuales de estos pares de valores son solución de la ecuación: (2,0) ,(6,1) , (0,1) , (2,2) . ( Utiliza los controles de la escena ).
Determina tres puntos del plano que sean solución de la recta definida por la ecuación anterior.
Dar una ecuación ecuación equivalente a la dada y comprueba tres soluciones posibles de ambas.
Modifica la ecuación de partida multiplicando todos los términos de la ecuación por 3 y comprueba que las soluciones de la ecuación resultante son las mismas que las de la primera ecuación.
Como varia la solución de una ecuación,si le sumamos un mismo número a los dos miembros de una ecuación. Y si sólo se lo sumamos a un miembro de la ecuación.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
| Varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o las soluciones comunes a todas ellas, es un sistema de ecuaciones. |
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas. Su resolución consiste en averiguar si todas ellas tienen algún punto en común y localizarlo.
Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas en un conjunto de dos ecuaciones que son satisfechas simultáneamente por ninguno, uno o más grupos de valores de las incógnitas.
Dos ecuaciones para las que se busca una solución común forman un sistema de dos ecuaciones.
a x + b y = c
d x + e y = f
MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.
Para obtener la solución del sistema de ecuaciones , representamos gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema, a partir de los datos de sus respectivos tablas de valores. Los puntos de corte de las respectivas rectas será la solución del sistema.
a x + b y = c
d x + e y = f
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EQUIVALENTES
| Dos sistemas de ecuaciones son
equivalentes si ambos tienen las mismas soluciones. Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que los forman. |
Para obtener sistemas equivalentes podemos realizar las siguientes transformaciones:
* Dado el siguiente sistema:
| 2x + 3y = 9 3x - 5y = 4 |
- Buscar la solución del sistema, modificando los controles, para la segunda ecuación.
- Comprobar que sucede si multiplicamos por 5 todos los términos de la segundo ecuación del sistema.
- Comprobar que sucede si multiplicamos por 2 los términos del primer miembro de la segunda ecuación del sistema.
- Sustituye la segunda ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada por un número y busca su solución.
TIPOS DE SISTEMAS SEGÚN SU SOLUCIÓN
| Un sistema de ecuaciones pueden tener solución ( compatible )
o no tener solución ( incompatible ). Los sistemas compatibles pueden tener una solución ( determinado ) o infinitas soluciones ( indeterminado ). |
Al representar gráficamente las dos ecuaciones de un sistema con dos incógnitas, podemos encontrar las siguientes situaciones:
Las dos rectas se cortan en un punto. Sistemas compatible determinado............................................... ..................................................................................................a / a´# b / b´= c / c´
Las dos rectas coinciden. Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones..................................................................................a / a´= b / b´= c / c´
Las dos rectas no tienen ningún punto en común; son paralelas. Sistema incompatible, no tiene solución. ..................................................................................................a / a´= b / b´# c / c´
* Dado el siguiente sistema comprueba como se modifica la solución del sistema en los siguientes casos:
2x + y = 1 3x + 2y = 4
1) - Si multiplicamos por un mismo número todos los términos de una ecuación
2) - Si igualamos los coeficientes de x e y.
3) - Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una ecuación.
4) - Si modificamos el coeficiente de la x e y de una ecuación.
5) - Si los coeficientes y los términos independientes son proporcionales.
* Comprobar si los siguientes sistemas son compatibles o no:
4 x = 5
x + y = 6
y + x = 30
y - x = 24
y + x = 3 0
- 2 x = - 6
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