Ejercicio 1. 

Ejercicio 2. 

 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
nº de puntos	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

  Ejercicio 3.

a)  a₃₀ = 30

b)  a₁₃ = 169

  Ejercicio 1.

a)   a₁ = 1

      a₂ = 2

      a₃ = 3

      ..........

     El valor de cada término coincide con el del subíndice. Por lo tanto, podemos escribir que   a_n  = n 

 

b)   a₁ = 1 = 1²

      a₂ = 4 = 2²

      a₃ = 9 = 3²

      .........

     El valor de cada término coincide con el del cuadrado del subíndice. Por lo tanto, podemos decir que       

     a_n = n².                                  

a)  a_n = 2n

b)  a_n = 2n -1

c)  a_n = 1/2ⁿ

d)  a_n = (-1)ⁿ

e)  a_n = (-1)^n-1

Con la ayuda de la escena adjunta, comprueba que los términos generales anteriores generan las sucesiones dadas en el ejercicio.

Ejercicio 1.

Funciona como ejemplos anteriores. 

Ejercicio 1.

a)  Si sumamos a cada término  -2 obtenemos el siguiente. Por lo tanto, d = -2

b)  d = 3

c)  d = 2

Las representaciones gráficas respectivas aparecen en la escena siguiente, cada una en un color diferente. Puedes comprobar, aumentado los valores de los controles a, b ó c que vas obteniendo respectivamente los términos de las tres sucesiones dadas.

Ejercicio 2.

a)  a_n = 3 - 2n

b)  a_n = 3n - 1

c)  a_n = -9 + 2n

Ejercicio 3.

a)        a₈ = 3 - 2. 8 = 3 - 16 = - 13

b)          a₈ = 3.8 - 1 = 24 - 1 = 23

c)          a₈ = - 9 + 2.8 = - 9 + 16 = 7

(Puedes hacer las comprobaciones oportunas utilizando la escena correspondiente que tienes en la página de las progresiones aritméticas).

Ejercicio 4.

Como  a_n = a₁ + (n-1).d , despejando n obtendremos:

 

y sustituyendo:  

      

La sucesión consta de 11 términos

Ejercicio 5.

a₈ = a₁ + (8 - 1).d = 0 + 7.3 = 21

Ejercicio 6.

a₁₀ = a₁ + (n - 1)d

14 = a₁ + (14 -1).(-2)

a₁ = 14 - 13.(-2) = 14 + 26 = 40

Ejercicio 7.

Los precios de los metros forman una progresión aritmética cuyo primer término  a₁ = 700   y   d = 95

a₁₀ = a₁ + (n - 1).d = 700 + (10- 1).95 = 700 + 9.95 = 700 + 855 = 1555 € se pagarán por el décimo metro excavado.

11275 €  es el total abonado por los 10 metros excavados.

Ejercicio 1.

a)  Si multiplicamos a cada término por 3 obtenemos el siguiente. Por lo tanto, r = 3

b)  r = - 1

c)  r = 1/3

Las representaciones gráficas respectivas aparecen en la escena siguiente, cada una en un color diferente.

Ejercicio 2.

a)  a_n = 3^n-1

b)  a_n = 4.(-1)^n-1

c)  a_n = 27.(1/3)^n-1

Ejercicio 3.

Aplicando la fórmula del producto, 

así que empezaremos calculando a₆ para lo que necesitaremos conocer la razón.

Ejercicio 4.

a)        a₈ = 1.3^8-1 = 3⁷ = 2187

b)          a₈ = 4.(- 1)^8-1 = 4.(- 1)⁷ = 4.(- 1) = -4

c)

 

Ejercicio 5.

Como  a_n = a₁.r^n-1 , despejando r obtendremos:

 

y sustituyendo:   

Ejercicio 6.

Utilizando las fórmulas de la suma de los n primeros  términos de una progresión geométrica y del término general de la misma:

Sustituyendo los valores conocidos y despejando n:

2ⁿ = 4095 + 1

2ⁿ = 4096

2ⁿ = 2¹² 

n = 12

Ejercicio 7.

Observamos que el número de personas nuevas que conocen el secreto cada diez minutos forman una progresión geométrica de razón 3:

 9, 27, 81,...

a₁₂ ha sido calculado utilizando la fórmula del término general y S₁₂ utilizando la de la suma.

Solución: Al cabo de 2 horas conocerán el secreto 2.391.480 + 4(la persona que lo conocía + las tres a las que se lo contó). Es decir, 2.391.484 personas.

Ejercicio 8.

Casilla nº	Granos de trigo
1	a1= 1
2	a2= 2
3	a3= 4
......	......
64	a64= 9223372036854775808
Total	S64= 18446744073709551615

El  número de granos que pide por cada casilla forman una progresión geométrica de razón 2.

a₆₄ se ha calculado utilizando la fórmula del término general y S₆₄ la de la suma.

Si dividimos S₆₄ entre 10 averiguaremos los gramos que tendría que haber recibido el inventor:

1844674407370955161,5 gramos

Cómo el número resultante aún es muy grande, lo dividimos entre 1000 para averiguar los Kilos:

1844674407370955,1615 Kilos

Podemos todavía dividirlo otra vez por 1000 y averiguaremos las toneladas:

1844674407370,9551615 Toneladas

Como habrás podido imaginar, el rey no pudo saldar la deuda porque no tenía suficiente trigo en sus graneros.

Si completas la tabla con los datos que obtienes utilizando la escena podrás observar que los términos de la sucesión son cada vez más pequeños y más próximos, por lo tanto, a 0.

Ejercicio 2.

Por lo tanto, la fracción generatriz de 3,2222.... es 29/9

Aplicamos lo que ya sabemos sobre la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica ilimitada:

Por lo tanto, la fracción generatriz de 3,42222.... es 154/45

La información pedida se puede encontrar, además de en los libros sobre historia de las Matemáticas, utilizando Internet.

Las sumas se forman siempre empezando por el 1 + 1 y saltándose un término de la sucesión entre cada dos sumados.

En la 2ª suma nos hemos saltado el 2; en la 3ª, el 2 y el 5; en la 4ª, el 2, el 5 y el 13  y así sucesivamente.

La información pedida se puede encontrar, además de en los libros sobre historia de las Matemáticas, utilizando Internet.

Mª Loreto Ayuso de la Calle   © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003