Progresiones aritméticas. Teoría.
	3º de E.S.O.

 

Término general. an = a1 + (n - 1)·d Demostración.                   Según lo anterior, el término general de la progresión 3, 5, 7, 9,.. será    an = 3 + (n - 1)·2 Y operando obtenemos:                         an = 1 + 2n

Suma de los términos de una progresión aritmética. Llamamos  Sn   a la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Demostración.

Ejemplo. Vamos a calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 3, 5, 7, ... a10= 21 (Puedes comprobarlo usando la escena que hay al comienzo de la página de Progresiones aritméticas) (Puedes comprobarlo usando la escena que hay en la página de Progresiones aritméticas)

Término General. Sean a1, a2, a3, ..... términos de una progresión aritmética de diferencia d. Por lo tanto, a2 = a1 + d = a1 + 1d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a1 + 3d ........................ an = a1 + (n - 1)·d

Suma de términos. Utilizaremos la siguiente propiedad de las progresiones aritméticas: "La suma de los términos de una progresión aritmética equidistantes de los extremos  es constante e igual a la de dichos extremos" Según lo anterior, a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = .... Comprueba esta propiedad con la escena que hay debajo.

Con los controles Diferencia y a1 elige los valores que quieras para formar la progresión. Fija el primer término con el control del mismo nombre. Fija el último término con el control del mismo nombre (Observa que la suma de ambos términos se realiza automáticamente). Avanza un término con el control Primer término y retrocede uno con el control Último término. (Observa que la suma de ambos términos sigue siendo la misma.) Puedes repetir el paso 3. las veces que quieras y comprobarás que la suma no varía. Puedes hacer una nueva elección de términos con los controles correspondientes y repetir el proceso, pulsando previamente Inicio. Puedes cambiar de progresión y comprobar que la propiedad se sigue cumpliendo.

Llamamos Sn a la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Sn = a1 + a2 + a3 +....... + an-1 + an Sumamos las dos expresiones siguientes miembro a miembro: Sn = a1 + a2 + a3 +....... + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 +....... + a2 + a1   ----------------------------------------------- 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2)+ .........+ (an-1 + a2) + (an + a1) Aplicando la propiedad enunciada anteriormente, todos las sumas entre paréntesis son iguales a   a1 + an. 2Sn = (a1 + an)·n Y, despejando,       Un poco de historia. En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética. Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los mas grandes matemáticos.  Intenta enterarte de algo más sobre él.

Mª Loreto Ayuso de la Calle   © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003