La palabra asíntota, (antiguamente, "asímptota"), proviene del griego asumptotos, compuesto de "a sun pipto" : a="sin" ; sun="juntamente con" y pipto: "tocar". Así, sumpipto significa "encontrarse, reunirse" y, por tanto, nuestro término viene a significar "sin encontrarse, sin reunirse, sin tocarse". Efectivamente, en el estudio de las funciones llamamos así a una línea recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita (eso no quiere decir que no puedan encontrarse en otros lugares).

Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de una función "en el infinito" de las variables. Veremos ejemplos en las actividades que siguen.

Asíntotas verticales.-

Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se dice que en dicho punto, la función "tiende a infinito".

En el siguiente ejemplo, consideremos la función y=5/(x-2) que no está definida en x=2, y observemos su gráfica:

1. Cambia los valores de x, acercándote hacia x=2. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función respecto de la recta vertical?. (Aumenta la escala y mueve los ejes, si es preciso. El segmento indica la distancia entre la gráfica de la función y la recta).

2. ¿Qué ocurre cuando es exactamente x=2?

3. Como ves, la tendencia es distinta en ambos lados del punto x=2, aunque en los dos casos es hacia infinito. Prueba con otros valores de a y de b, (excepto a=0).

Asíntotas horizontales.-

Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=c es una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".

En el ejemplo anterior, la función y=5/(x-2) también tenía éste comportamiento, con y=0 (el eje OX) como asíntota horizontal.

Veamos una función parecida: y=5/(x+2) + 3.

4. Modifica los valores de x, acercándote hacia "infinito" (grandes en valor absoluto). ¿Qué ocurre con la gráfica de la función respecto de la recta horizontal?. (Aumenta la escala y mueve los ejes, si es preciso. El segmento indica la distancia entre la gráfica de la función y la recta).

5. Prueba con otros valores de a, b y c (excepto a=0). Observa que en todas las funciones de esta familia, la tendencia es la misma tanto hacia "+ infinito" como hacia " - infinito": la recta y=c. No siempre tiene por qué ocurrir así.

Asíntotas verticales y horizontales (II).-

Una función cualquiera no tiene por qué tener los dos tipos de asíntotas que hemos visto. Puede no tener ninguna, por supuesto (cualquier función polinómica), tener sólo asíntotas verticales (una o más) o sólo asíntotas horizontales (una, o dos como mucho). Y en las asíntotas verticales la tendencia hacia infinito a ambos lados del punto de discontinuidad puede ser idéntica u opuesta.

Por ejemplo, observa la función siguiente (para n=2): y=5/(x-3)^2.

6. Vamos a fijarnos sólo en el comportamiento respecto de la asíntota vertical x=b.

Observa cómo ésta vez la tendencia en las proximidades de x=b es hacia "+ infinito" por ambos lados. ¿A qué crees que se debe?.

7. Modifica las constantes a y n (excepto a=0).

Prueba los casos: i) a >0, n par; ii) a>0, n impar; iii) a<0, n par; iv) a<0, n impar. Haz en tu cuaderno una tabla con el esbozo gráfico de cada uno de los cuatro casos anteriores, correspondientes a la familia de funciones y=a/(x-b)^n , n>0, entero.

Observa el siguiente ejemplo en el que vuelve a haber asíntota vertical. La expresión analítica de la función no es relevante en este momento.

8. Dale a x valores muy grandes en valor absoluto. ¿Parecen tender las imágenes hacia algún valor concreto? ¿Crees que hay asíntota horizontal?. (Mueve los ejes, modifica la escala y señala con el puntero para seguirle la pista a la gráfica).

Ahora observa una función con asíntota horizontal y no vertical.

El tipo de funciones y=a(x+b)/(x+c), (con a, b, c constantes adecuadas), se utiliza para describir el número de éxitos que una persona puede conseguir después de x sesiones de aprendizaje.

En el ejemplo, a=300, b=1, c=20, y=f(x) es el número de pulsaciones por minuto de una persona que aprende mecanografía, en función del número x>=0 de clases recibidas.

9. Incrementa los valores de x (=2, 10, 50, 100, ... días) y observa la tendencia. Intenta averiguar el valor al que se aproximan las pulsaciones por minuto cuando aumenta el número de días. (Ayúdate colocando la recta y=m de forma que sea asíntota horizontal, modificando el valor de m con el botón correspondiente.)

10. ¿Podrías deducir teóricamente el valor exacto de m para que y=m sea la asíntota?. Inténtalo en tu cuaderno.

Asíntotas oblicuas.-

Una función también puede tener una asíntota oblicua, que será una recta del tipo y=mx+n. En este caso, la función se va acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito.

Consideremos el siguiente ejemplo: y=x^2/(x-1)

11. Modifica el valor de x y observa cómo la diferencia entre las ordenadas en la función y en la recta, para un mismo x (segmento naranja), va haciéndose más pequeña a medida que x tiende hacia "+ infinito" o hacia "- infinito". Eso significa que dicha recta es asíntota oblicua. (No nos ocuparemos ahora de la asíntota vertical x=1)

12. Averigua la ecuación de la asíntota oblicua y=mx+n. (Para hallar m y n, te basta con considerar dos valores de x y sus respectivas ordenadas).

13. Modifica los valores de a y de b para observar lo que ocurre en distintos casos de la familia de funciones y = a·x^2 / (x-b). ¿Tienen siempre asíntota oblicua?

14. Teniendo en cuenta el apartado anterior, ¿cuál es la característica de la expresión analítica que permite afirmar que las funciones de ese tipo tienen asíntota oblicua?. (¿Qué es lo que no has modificado en la expresión analítica?)

Una justificación intuitiva de ese hecho es la siguiente: en tu cuaderno, realiza la división del polinomio x^2 entre x-1 y obtienes un cociente c(x) (¿de qué grado será?) y un resto r(x), que será una constante. Entonces se puede expresar f(x) = x^2 / (x-1) = c(x) + r / (x-1) (razónalo). Así, para valores de x muy grandes en valor absoluto, el sumando r / (x-1) se hace cada vez más próximo a 0, prácticamente despreciable y, por tanto, f(x) es muy aproximadamente igual a c(x).

15. Si una función tiene asíntotas horizontales, no tiene oblicuas. Esto es fácilmente esperable, puesto que una asíntota horizontal y=nes realmente un caso particular de asíntota oblicua y=mx+n, con m=0. Por tanto, la presunta asíntota oblicua que buscamos, es la horizontal ya existente.

Este hecho y el del apartado anterior se justificarán más rigurosamente en el próximo curso de Bachillerato, pero los resultados son perfectamente válidos, y la demostración formal consistirá en "vestir" de una forma más rigurosa estos mismos razonamientos, mediante un concepto muy importante en las matemáticas: el concepto de "límite".

Autor: Agustín Martínez Pedreño