ECUACIONES DE LA RECTA (II)
Introducción Ecuaciones de la recta (I) Ecuaciones de la recta (II)
VII. Ecuación punto pendiente de la recta
Consideremos la recta que pasa por el punto Po(xo,yo) y tiene como vector director v=(a,b), en su forma continua:
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Despejando y-yo, obtenemos:
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Pero según el epígrafe anterior:
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lo que nos permite escribir:
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que es la ecuación punto-pendiente de la recta, pues viene dada en función del punto Po(xo,yo) y de la pendiente m.
(Observa la siguiente escena, modifica los valores del punto Po(xo,yo) y de la pendiente m. Extrae tus propias conclusiones).
Ejercicios:
8º.- Determina y representa la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(-3,2) y tiene de pendiente m=1.5. Halla un vector director de dicha recta. ¿Cuál es la inclinación de dicha recta?. Realiza la comprobación mediante la escena situando el punto P y la pendiente m indicadas en el ejercicio.
9º.- Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por:
a) A y tiene de pendiente m=-1/2 |
b) B y tiene de pendiente m=0 |
| c) C y tiene de pendiente m=1/2 |
Comprueba el resultado mediante la escena llevando con el ratón el punto sobre A, B y C y, posteriormente, modificando los valores de m.
VIII. Ecuación explícita de la recta
Esta ecuación se obtiene sin más que despejar y de la ecuación punto pendiente:
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Haciendo b=-mxo+yo, obtenemos la ecuación explícita de la recta:
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Desde un punto de vista geométrico el parámetro b, llamado ordenada en el origen, indica la distancia desde el origen de coordenadas al punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
(Varía los controles m y b para ver el efecto que se produce en la recta y extrae tus propias conclusiones).
Ejercicios:
10.- Halla la ecuación de la recta en forma explícita que pasa por el punto (1,5) y tiene de pendiente m=2. Representa gráficamente esta recta y razona si el punto (3,2) está contenida en ella. Comprueba tus resultados a través de la escena.
11.-Observa los puntos A, B y C de la escena. Completa la siguiente tabla partiendo de los datos que se dan:
Punto |
m |
b |
y=mx+b |
A |
-2 |
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B |
1 |
||
C |
y=mx |
Una vez rellenada la tabla comprueba tus resultados mediante la escena
IX. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
En el epígrafe numero VII de este tema hemos visto que la ecuación de una recta que tiene pendiente m y pasa por el punto Po(xo,yo) es:
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Consideremos dos puntos cualesquiera de dicha recta P(p1,p2) y Q(q1,q2). Un vector director de dicha recta será PQ=(q1-p1,q2-p2) En el epígrafe número VI hemos definido la pendiente como el cociente entre la ordenada y la abcisa del vector director, por lo tanto:
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Teniendo esto en cuenta, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P(p1,p2) y Q(q1,12) la podemos expresar del siguiente modo:
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(Utiliza los controles de la escena o pincha el ratón sobre los puntos P y Q para conseguir rectas que pasen por diferentes puntos)
Ejercicios:
12.- Dibuja la recta que pasa por los puntos P(4,1) y Q(1,-4), así como el representante canónico del vector PQ (vector equipolente a PQ con su origen en el origen de coordenadas). Comprueba estos resultados con la escena.
13.- Halla la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. ¿Cuáles son las componentes del vector director de la recta PQ? ¿Cuál es la pendiente de dicha recta?. Comprueba estos resultados con la escena.
Haz de rectas paralelas
Un haz de rectas paralelas es el conjunto de todas las rectas paralelas a una dada. Si la recta viene dada en su forma general:
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la ecuación del haz de rectas paralelas a la anterior es:
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Donde K es variable. Al modificar el valor de K vamos obteniendo el haz de rectas paralelas a una dada.
(Observa la siguiente escena. Modifica el valor del parámetro K y conseguirás formar el haz de rectas paralelas a la ecuación 2x+2y-8=0. Utiliza el botón limpiar para borrar dichas rectas)
Ejercicio:
14.- Halla las ecuaciones de las rectas paralelas a 2x+2y-8=0 y que pasan por los puntos A, B y C de la escena. Comprueba tus resultados con Descartes.
Haz de rectas concurrentes en un punto
Un haz de rectas concurrentes en un punto fijo A(a1,a2) es el conjunto de todas las rectas que pasan por dicho punto. Teniendo en cuenta la ecuación punto-pendiente de la recta, la ecuación del haz de rectas concurrentes será:
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Donde m es la pendiente y recorre el conjunto de los números reales. Al variar la pendiente m, conseguimos el haz de rectas concurrente en el punto P.
(Observa la siguiente escena. Modifica la pendiente y conseguirás formar el haz de rectas que pasan por el punto P(5,4). Utiliza el botón limpiar para borrar dichas rectas)
Ejercicio:
15.- Halla las ecuaciones de las rectas incidentes en el punto P(5,4) y que pasan por los puntos A, B y C de la escena. Comprueba tus resultados con Descartes.
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