FUNCIONES Y GRÁFICAS

CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

Definición de cotangente de un ángulo agudo

Sea A uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. La cotangente de un ángulo es el inverso de la tangente del mismo. Por tanto, la cotangente del ángulo A será el cociente entre el cateto contiguo, AB, y el cateto opuesto, BC.

Actividades:

1.- Observa cómo varía el valor de la cotangente al aumentar el valor del ángulo A y al disminuir.

2.- Comprueba que la cotangente de un ángulo es la misma aunque el triángulo aumente o disminuya de tamaño. Para ello, fija el valor del ángulo que desees y con los botones varía el valor de AB.

3.- Cuando el ángulo es 0º, ¿cuánto vale la cotangente?

Definición de cotangente de un ángulo cualquiera

Construyamos un ángulo A sobre los ejes cartesianos. Situamos su vértice en el origen, una semirrecta en el eje OX positivo y la otra determinada por la medida de A. Sobre esta última, consideremos un punto cualquiera, P, y sus coordenadas, x e y. Podemos obtener la cotangente de A dividiendo la abscisa del punto P entre la ordenada.

Actividades:

4.- Cambia el valor del ángulo con las flechas y anota los ángulos de los que no se puede obtener la cotangente. ¿Por qué ocurre esto?

5.- Ahora, observa detenidamente cómo varía el valor de la cotangente de los ángulos y responde a las siguientes preguntas:

a) ¿A partir de qué ángulo, el valor de la cotangente se empieza a repetir por primera vez? ¿Y por segunda vez? ¿Y por tercera vez? ¿Qué conclusión puedes sacar de estas observaciones?

b) Observa ahora sólo los ángulos comprendidos entre 0º y 180º. ¿Para cuáles de esos ángulos la cotangente es positiva? ¿Y para cuáles es negativa?

c) Desde 0º hasta 180º, el valor de la cotangente aumenta o disminuye?

Construcción de la cotangente en la circunferencia goniométrica

Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene el centro en el origen de coordenadas y cuyo radio es 1.

Observa que si consideramos un ángulo cualquiera y un punto de la semirrecta que lo determina cuya segunda coordenada sea 1, la cotangente de ese ángulo es la primera coordenada de ese punto.

Actividades:

6.- Observa en la gráfica que la recta roja en la que aparece x también en color rojo es la que contiene todos los puntos cuya ordenada vale 1.

7.- Fíjate que el valor de la cotangente de cada ángulo es la longitud del segmento rojo.

8.- Utiliza las flechas para comprobar que los valores de la cotangente se repiten entre 180º y 360º, entre 360º y 540º, entre 540º y 720º y así sucesivamente.

La función cotangente

Construcción de la función cotangente a partir de la circunferencia goniométrica.

Como los valores de la función cotangente se repiten cada 180º (p), decimos que es una función periódica y que su periodo es p (180º) y por ello la representaremos sólo en el intervalo [0,p].

Actividades:

9.- Observa que en el eje de abscisas se representa el valor de ángulo en radianes y en el de ordenadas, el valor de la cotangente.

10.- Hay dos rectas verticales de color verde, ¿cuáles son sus ecuaciones? ¿Por qué crees que se han representado esas rectas?

La gráfica de la función cotangente

Como la función cotangente es periódica de periodo p, la gráfica que se obtiene en el intervalo [0,pi] se repite hacia la derecha y hacia la izquierda del mismo.

Actividades:

11.- Cambia la escala y los ejes con las flechas para ver qué ocurre con la función cotangente y con las rectas verticales de color verde dibujadas en x=0 y en x=k*p, siendo k un número entero.

12.- Observa cómo la gráfica de la cotangente "salta" en los valores próximos a p, pasando de tomar valores muy pequeños a la izquierda de p y valores muy grandes a la derecha. Eso quiere decir que la función cotangente no se puede dibujar de una sola vez, sin levantar el lápiz del papel y por eso decimos que es una función discontinua.

Autor: Mª Isabel de los Santos Rayo.