11.  La derivada de la función exponencial


11.1  Una función que coincide con su derivada

En las aplicaciones del Cálculo, es importante conocer una función que coincida con su propia derivada. En la búsqueda de esta función se destaca la importancia del número e de Euler.

En la presente actividad, utilizaremos el trazador de derivadas para graficar la derivada de la función exponencial
f(x) = ax.  La escena se muestra esta función,  para a = 2,  en  x = 0.3. 

En pantalla aparecen los valores numéricos de la función exponencial f(x)  y de la función pendiente de secantes, g(x).

 

  1. Aproxime h a cero y modifique libremente el valor de x,  y observe el lugar geométrico que describe el punto P (función derivada)
  2. ¿Cómo son las gráficas de la función y de su derivada?
  3. Asigne el valor a = 3, modifique libremente el valor de x y diga cómo son las gráficas de la función y de su derivada?
  4. ¿Podría asignar un valor al parámentro a, de tal manera que la función y su derivada sean más parecidas que las anteriores? Verifique con el valor numérico de la derivada, en pantalla, la precisión de su respuesta.
  5. Asigne al parámetro a el valor que permita visualizar que  la función coincide con su derivada, al menos con la precisión que dan las cifras decimales mostradas en pantalla.
  6. El número que ha encontrado para a,  es el número e de Euler, que es un número irracional con cifras:
    e =  2.7182818284590452353602874713527...

Graficando la derivada 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.2  Graficando la derivada

A continuación, se muestran las gráficas de f(x) = ax   y   de su función derivada ( h = 0.000001)

Mueva hacia la derecha el valor de x, hasta ver completo el trazo de la función derivada  y modifique el valor del parámetro a  para apreciar que: si   f(x) = ex ,  entonces   f ' (x) = ex

 

 

Derivada de la función logaritmo