LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Instrucciones previas para los alumnos.

    La manera de desarrollar esta actividad será doble: en tu libreta de clase y en el ordenador.

    Avanza por la pantalla utilizando el cursor situado en la parte lateral derecha, leyendo el desarrollo de la actividad. Cuando se te plantee un ejercicio indica en tu libreta su número y las consecuencias obtenidas.

    Cuando la actividad te plantee ejercicios para que los resuelvas en tu cuaderno aparecerán en color verde, mientras que si los ejercicios son para resolverlos en tu ordenador aparecerán en color rojo.

    Espero que estos ejercicios (10 prácticas) te ayuden a entender mejor la función exponencial.

La función exponencial en el mundo que nos rodea.

       Las amebas (busca en un diccionario información sobre ellas) seres unicelulares, se reproducen partiéndose en dos, fenómeno conocido como bipartición.

    La bipartición se produce más o menos rápido según las condiciones del medio en el que se encuentren. 

    1ª Práctica. Supongamos que inicialmente tenemos una sola ameba y que la bipartición se produce cada hora, calcula el número de amebas que se van reproduciendo y completa esta tabla:

    El ejemplo planteado es un caso de comportamiento asimilable a la función exponencial.

Crecimiento de una población.

    Imagino que una vez construida la tabla habrás llegado a la conclusión de que al cabo de x horas el número total de amebas será de:

y = 2^x si al comienzo sólo había una ameba.

  2ª Práctica. Supongamos que inicialmente tenemos 20  amebas y que la bipartición se produce cada hora, calcula el número de amebas que se van reproduciendo y completa esta tabla:

Intenta obtener la expresión de la nueva función.

   Este es uno de los muchos ejemplos que pueden darse de crecimiento de una población. La población podía ser de personas, plantas, etc pero la ley de crecimiento tendrá siempre la misma forma:

y = k.a^x

donde el crecimiento peculiar de cada población viene dado por el valor de la constante a. El exponente x indicará la unidad de tiempo tenida en cuenta.

Compara la expresión general con tu caso particular.

Generalización.

    La función y = a^x con a>0 se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL En un primer momento vamos a estudiarla para valores de a>1.

3ª Práctica. Inicialmente trabajaremos con a = 2 y k=1.

 Da valores positivos a la variable independiente x. Observa el comportamiento de la función.

A continuación da valores negativos. Observa el  comportamiento de la función.

¿La función es creciente o decreciente?¿Qué le ocurre al tender x a menos infinito?

    Cuando hayas manejado suficientemente esta aplicación, cambia el valor de a (eso sí, siempre mayor que uno) y repite el proceso.

    Finalmente cambia el valor de k (eso sí, siempre positivo), repite y observa las variaciones que se producen.

4ª Práctica. Compara  esas funciones y anota en tu cuaderno sus parecidos y diferencias.   

Desintegración radiactiva.

       Pero si únicamente estudiásemos los crecimientos nuestra actividad estaría incompleta.

    Las sustancias radiactivas como el uranio, se desintegran transformándose en otras sustancias y lo hacen con mayor o menor rapidez según de la sustancia de que se trate.

    5ª Práctica. Supongamos que tenemos un kilogramo de uranio que se desintegra reduciéndose a la mitad cada año. El resto de la sustancia no desaparece sino que se transforma en otra sustancia química distinta. Rellena la tabla. 

    El nuevo ejemplo planteado es también un caso de comportamiento asimilable a la función exponencial aunque algo distinto al anteriormente visto.

    Imagino que no necesitarás repetir el proceso anterior para llegar a la expresión general.

6º Práctica. Apunta en tu cuaderno la expresión de la nueva función.

Generalización.

     Vamos a estudiarla para valores de 0<a<1.

7ª Práctica. Inicialmente trabajaremos con a = 1/2 y k = 1.

 Da valores positivos a la variable independiente x. Observa el comportamiento de la función.

A continuación da valores negativos. Observa el comportamiento de la función.

¿La función es creciente o decreciente?¿Qué le ocurre al tender x a más infinito?

    Cuando hayas manejado suficientemente esta aplicación, cambia el valor de a (eso sí valores comprendidos entre cero y uno) y repite el proceso anterior.

    Finalmente cambia el valor de k (eso sí, siempre positivo),repite el procedimiento y observa las variaciones que se producen.

8ª Práctica. ¿Qué ocurre para a = 1?.

Dominio de la función exponencial.

    Después de haber trabajado en las dos escenas, primero con la función exponencial con a>1 y luego con 0<a<1.

9ª Práctica. ¿Cuál es el dominio de dicha función?.¿Es el mismo en ambos casos?.

    Te recomiendo volver hacia atrás en el caso de duda y que varíes los valores de x en las escenas.

Asíntota de la función exponencial.

    Después de haber trabajado en las dos escenas, primero con la función exponencial con a>1 y luego con 0<a<1.

10ª Práctica. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito?.Comprueba este fenómeno para distintos valores de a con a>1 y con 0<a<1. Si lo necesitas mueve con los cursores la posición del eje vertical para observar mejor el fenómeno.

    Se dice que el eje OX es una asíntota horizontal de la función.

Autora: Inmaculada Pomar Amillo. Mayo de 2001.

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