FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO TRES
Introducción: función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa. Veremos ejemplos en los casos 3 y 4
Vamos a efectuar el estudio de cuatro casos particulares y después veremos el caso general.
Ejercicio: Prueba a modificar los valores de los parámetros a, b, c y d, observando los tipos de gráficas que se obtienen. Se puede ver que corresponden a los casos mencionados antes.
1) y = ax3
Estamos en el caso de que b, c y d son nulos. Son funciones que tienen un único punto de corte con los ejes que es el (0,0), no tienen extremos y son crecientes si a > 0 y decrecientes si a < 0 .
Al variar "a" podemos observar que si toma valores cada vez mayores la función se acerca al eje OY y si los valores de "a" son más pequeños se ensancha.
Ejercicio : Observa la pantalla inicial y modifica los valores de "a", en primer lugar toma a=5 y a continuación dale el valor -4. ¿Qué le sucede a la gráfica?
2) y = ax3 + d
Estamos en el caso de que b y c sean nulos. Estas funciones tienen dos puntos de corte con los ejes, uno con el OX y otro con el OY, no tienen extremos y son crecientes si a > 0 y decrecientes si a < 0.
Su gráfica se obtiene trasladando la de la función y = ax3 , d unidades en la dirección del eje OY.
Al variar d, se puede ver que si d > 0 la traslación es hacia arriba y si d < 0 la traslación es hacia abajo.
Ejercicio : Se van a cambiar los valores iniciales de "a" y "d", de la pantalla, para observar como se modifican las gráficas. En primer lugar mantén el valor de "a" y toma como nuevo valor d=4, a continuación toma d=-3 . Una vez observadas las gráficas, cambia "a" dándole el valor negativo -2 y toma como valores de "d" los anteriores. ¿Hacia donde se traslada la gráfica inicial en cada caso?
3) y = ax3 + bx2
En este nuevo caso c y d son nulos. Son funciones que tienen como puntos de corte (0,0) y (-b/a,0) , los extremos están en los puntos de abscisas x = 0 y x = -2b/3a (todas las funciones de este caso tienen un máximo y un mínimo) y el punto de inflexión está en x = -b/3a.
Dependiendo de los valores de a y b podemos observar que:
- si a > 0 y b > 0 el máximo está en R- y el mínimo en x = 0
- si a > 0 y b < 0 el máximo está en x = 0 y el mínimo en R+
- si a < 0 y b > 0 el máximo está en R+ y el mínimo en x = 0
- si a < 0 y b < 0 el máximo está en x = 0 y el mínimo en R-
También se puede ver que:
- si aumentamos a y mantenemos b, la curva se acerca al eje OY
- si disminuimos a y mantenemos b, la curva se ensancha
- si mantenemos a y aumentamos b, la curva se ensancha
- si mantenemos a y disminuimos b, la curva se acerca al eje OY
Ejercicio : Para ver todo esto da, a "a" los valores +2 y -3 , y a "b" los valores +4 y -6, combínalos de todas las formas posibles. Observa los resultados obtenidos y localiza las coordenadas de los puntos de corte, de los extremos y del punto de inflexión. ¿Si a<0 , nos encontramos primero con el máximo?¿Y si a>0 con quién nos encontramos antes? (En ambas preguntas observa que no depende de b la respuesta)
4) y = ax3 + cx
En este último caso particular b y d son nulos. Dependiendo de los valores de a y c sólo hay dos familias de gráficas :
- Si a y c tienen el mismo signo, sólo tienen un punto de corte con los ejes, el (0,0), no tienen extremos y sus gráficas son similares a las estudiadas en el caso 1.
- Si a y c tienen distinto signo, tienen tres puntos de corte con los ejes, si a > 0 y b < 0 nos encontramos primero con el máximo y luego con el mínimo y en caso contrario sucede al revés.
Podemos observar que :
- si aumentamos a y mantenemos c, la curva se acerca al eje OY.
- si disminuimos a y mantenemos c, la curva se ensancha.
- si mantenemos a y aumentamos c, la curva se acerca al eje OY si a y c tienen el mismo signo y se ensancha si tienen a y c distinto signo.
- si mantenemos a y disminuimos c, la curva se ensancha si a y c tienen el mismo signo y se acerca al eje OY si tienen distinto signo.
Ejercicio : Modifica los valores de la pantalla inicial, cambiando el signo a los dos valores. ¿La gráfica se parece a la de un caso anterior? ¿A cuál? . A continuación toma como valores de a y c, respectivamente 3 y -6 primero y después -3 y 6. Observa que en el primer caso nos encontramos con máximo y mínimo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa, mientras que en el segundo nos encontramos con mínimo y máximo, separando el punto de inflexión la región convexa de la cóncava.
5.- y = ax3 +bx2 + cx + d
Es el caso general y por tanto nos sirve todo lo dicho en la introducción
Ejercicio : Una vez observada la gráfica de la pantalla inicial donde a=b=c=d=1, vamos a ir cambiando los valores de los parámetros. En primer lugar si hacemos b=c=d=0 nos damos cuenta que estamos ante una función creciente vista en el caso 1. Si ahora tomamos a=d=1 y b=c=0 nos encontramos ante una función creciente estudiada en el caso 2. Volvamos a los valores de la pantalla inicial y hagamos c=d=0 ¿De qué tipo es la nueva gráfica? ¿Y si hacemos a=-1,c=1 y b=d=0 cuántos puntos de corte con los ejes tiene? ¿Nos encontramos primero con el máximo o con el mínimo?
Por último demos los valores siguientes a=1, b=-9, c=24 y d=-7 ¿Cuántos puntos de corte con los ejes tiene? ¿Tiene dos extremos? ¿El punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa?
José Vidal Tovar Ordoñez
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