9. CORRESPONDENCIA RECÍPROCA, FUNCIÓN INVERSA:
Siempre que conocemos una función que transforma elementos de un conjunto A a en elementos de otro conjunto B sabemos cómo calcular la imagen ("f(x)") de un elemento "x" del conjunto A.
Pero también es importante conocer cómo calcular la imagen inversa (f -1) de un elemento de B.
a) Considera la función f(x) = 2x+1. Calcula las imágenes de -1, 2, 3, -4/3, 10,-4. Calcula las imágenes inversas de 16, 25, 9, 1/4, 3, 1/3, -4, -9, -10
b) Considera la función f(x)=x2. Responde a las mismas preguntas con los mismos números que en el apartado anterior.
c) La correspondencia f-1 ¿siempre es una función? Para responder fíjate en los dos ejercicios que acabas de realizar. Responde claramente a la pregunta siguiente: ¿Cuándo la correspondencia f-1 es una función?
d) Ahora debemos analizar qué relación hay entre las gráficas de la función f(x) y la de la correspondencia recíproca (f-1). Concéntrate en el ejercicio a) y observa que al resolverlo has determinado algunos puntos de la gráfica de f(x). Dibuja la gráfica de f(x)= 2x+1 (se trata de una recta) y marca los puntos que ya conoces de su gráfica. Piensa ahora que cada punto que conoces da lugar a otro punto de la gráfica de f-1 .
El siguiente applet pretende ayudarte a visualizar y resolver el asunto:
En el siguiente applet podrás experimentar lo mismo pero con la función f(x) = x3
Con las dos ayudas gráficas anteriores, es de suponer que hayas sido capaz de resolver la cuestión planteada. En cualquier caso ambos applets incluyen en la parte inferior la ecuación y=0, si borras y escribes "y = x" y pulsas la tecla "Intro" aparecerá dibujada la recta y = x (seguro que la conoces, ¿qué puntos del plano cumplen que la abscisa "x" coincide con la ordenada "y"?) y te resultará más fácil todavía dar la respuesta.
10. FUNCIONES QUE AL SER REPRESENTADAS
DAN LUGAR A UNA RECTA
(funciones polinómicas de primer grado)
a) Gráfica: recta que pasa por el origen
Las funciones del tipo f(x) = mx (f(x) = 2x, f(x) = -3x, y=4x, y= -2x) al representarlas dan lugar a rectas que pasan por el origen. El número "m" determina la inclinación de la recta respecto al eje OX, y recibe el nombre de pendiente de la recta.
Experimenta con el siguiente applet:
Comprueba y anota en el cuaderno lo que sucede al variar m tomando valores mayores o iguales que cero (desde cero hasta 5000 p. ej.). Idem desde 0 hasta -5000. El caso de m=0 es especialmente importante
b) Gráfica: Rectas en general (no pasando necesariamente por el origen)
Las gráficas de las funciones del tipo: f(x) = m*x+b
también son rectas. El coeficiente "m" se llama pendiente
y representa la inclinación de la recta respecto de la dirección
positiva del eje =X.
Igual que en el caso anterior:
Comprueba y anota en el cuaderno lo que sucede al variar m
tomando valores mayores o iguales que cero (desde cero hasta 5000
p. ej.). Idem desde 0 hasta -5000. El caso de m=0 es
especialmente importante
El número "b" se llama ordenada en el origen y mide la distancia que hay desde el punto en que la recta corta al eje de ordenadas hasta el origen (distancia positiva o negativa, según los casos). Compruébalo:
c) Interpretación geométrica de la pendiente:
El coeficiente "m" tiene un significado geométrico que ya has podido apreciar, indica la inclinación de la recta respecto a la dirección positiva del eje OX.
Vamos a comprobar el significado de la pendiente "m" de una forma más precisa. Para ello, con el siguiente applet, dibujaremos una función f(x) = m*x + b, elegiremos dos puntos A y B sobre la gráfica y estudiaremos la relación entre la variación vertical y la variación horizontal que se produce al pasar de B a C. La variación vertical se suele llamar incremento de la función (lo que ha variado la función al pasar de B a C) y la variación horizontal se suele llamar incremento de la variable (lo que ha variado la variable "x" al pasar de B a C)
11. FUNCIONES CUADRÁTICAS (PARÁBOLAS)
Las funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = a*x2+b*x+c se suelen designar con el nombre de funciones cuadráticas. Su gráfica es una parábola. A continuación puedes experimentar, modificando el valor de los coeficientes a, b y c, para ver cómo cambia la gráfica.
Es importante que observes qué sucede al variar "a", especialmente al cambiar el signo.
También es importante que entiendas qué sucede al variar el parámetro "c" (fácil, ¿no?).
En ocasiones se nos va a pedir que dibujemos la gráfica de una función cuadrática, por ejemplo la de y = x2-3x-10.
Primero deberás encontrar los puntos de corte con los ejes (eje OX: y = 0; eje OY: x = 0). Para ello tendrás que resolver dos sistemas: [y=x2-3x-10, y=0] (¿siempre tendrá solución?) y [y=x2-3x-10, x=0].
En segundo lugar deberás determinar las coordenadas del vértice y decidir si se trata de un máximo o de un mínimo (máximo o mínimo según los casos ¿de qué depende?) De momento tienes que memorizar que la abscisa del vértice es igual a "-b/(2a)". La ordenada del vértice la calcularás sustituyendo el valor de la abscisa en la función (es decir: f(-b/(2a)). (Más adelante aprenderás un método distinto para hallar el vértice)
Ejercicios : Representa gráficamente
las funciones: f(x) = x2-3x-10, y = x2+5x+6=0,
y = x2+4. (En el último ejemplo no hay puntos de
corte con el eje de abscisas, así que para dibujar la parábola
correspondiente tendrás que hallar el vértice y además "dar
valores")
Eje de simetría de la parábola: todas las parábolas que proceden de dibujar una función cuadrática tienen un eje de simetría vertical (¿cuál es?). Halla las ecuaciones de los ejes de simetría de las tres parábolas que has dibujado.
PÁGINA SIGUIENTE (INTERPOLACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA)
Página diseñada por: Carlos Fleitas (departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)
Autor del Applet "Descartes" : José Luis Abreu León