FUNCIÓN SENO
Análisis

- Definición, gráfica y propiedades:

Definición de la función seno.

Construcción de la función seno.

Representación gráfica y propiedades.

 


- DEFINICIÓN, GRÁFICA Y PROPIEDADES.

Hasta completar el estudio de la función seno vamos a proceder a analizar diversos apartados que desarrollaremos en este capítulo. Nos iremos ayudando de las escenas que aparecen para poder comprender mejor los conceptos. 

 

Definición de la función seno.
Llamaremos función seno a aquella que asocia a cada ángulo el valor del seno correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente:

y = sen x

A continuación tienes una tabla donde se relacionan algunos ángulos con sus senos correspondientes:

ángulo  en grados (x) 30º 45º 90º 180º 240º 270º 300º 360º 720º ....
seno (y) 0 1 0 ? ? ? ? ....

Ejercicio: Completa la tabla con los senos de los ángulos que faltan.

En la tabla anterior, los ángulos están expresados en grados, pero hay que tener en cuenta que, a la hora de trabajar con la función seno, la mayoría de las veces usaremos el ángulo (x) en radianes por lo que  la tabla anterior nos quedaría: 

ángulo en radianes (x)

    p 2p 4p ....
seno (y) 0 1 0 ? ? ? ? ....

(NOTA: Es importante no olvidar esto porque en las próximas escenas utilizaremos los radianes como unidades del eje X y aunque los ángulos los expresemos en grados, serán transformados a radianes).

 

 

Construcción de la función seno.

La forma más sencilla para construir la gráfica de la función seno es representar los pares de puntos que se obtienen tras realizar una tabla de valores, como la que hemos obtenido anteriormente. 

 

1.- Cambia el valor del ángulo y observa cuál es su equivalencia en radianes y cómo se obtienen sus imágenes en la tabla.

2.- Observa cómo se va representando el par de puntos que se obtiene al elaborar la tabla de valores.

3.- Prueba a dar al ángulo valores negativos.

4.- Da al ángulo valores mayores de 360º y observa qué ocurre. 

 

Representación gráfica. Propiedades.

En el apartado anterior, sólo hemos dado algunos valores a los ángulos pero la gráfica de la función seno quedaría completamente definida si diésemos todos los valores posibles. 

A continuación se presenta la gráfica de la función seno y a partir de ella vamos a tratar de obtener algunas propiedades.

 

1.- ¿Para qué valores de "x" existe imagen? 

2.- ¿Qué valores puede tomar "y" (el valor del seno)? 

3.- ¿Es continua esta función?

4.- ¿Presenta simetría?

5.- ¿Se repite? ¿Cuál es su período?

6.- ¿En qué puntos corta al eje X? ¿Y al eje Y?

7.- ¿En qué intervalos la función es positiva? ¿Y negativa?

8.- Calcula dónde se alcanzan los valores máximos y mínimos. 

9.- ¿Podrías decir dónde crece y dónde decrece?

10.- ¿Cuánto valdrá el seno para valores muy grandes del ángulo? ¿Y para valores muy pequeños?

 Si has contestado adecuadamente a las cuestiones anteriores habrás deducido las propiedades de la función seno. A continuación aparecen las propiedades de dicha función (para una mejor comprensión, los ángulos se han vuelto a expresar en grados en lugar de radianes)

Propiedades de la función    y = sen x 

 Dominio 3 (todos los números reales)
 Recorrido o Imagen 
 Continuidad Es continua en todos los puntos
 Simetría Simetría impar
 Periodicidad Periódica con periodo T = 2p (360º)
 Puntos de corte con eje Y En y = 0
 Puntos de corte con eje X En x = kp,  (siendo k un número entero)
 Signo de la función Positiva en (0º, 180º)  (con periodicidad 2p)  

Negativa en (180º, 360º) (con periodicidad 2p)

 Máximos En x = 90º + 2kp,  (siendo k un número entero)
 Mínimos En x = 270º + 2kp,  (siendo k un número entero)
 Crecimiento  (0º, 90º) U (270º, 360º) (con periodicidad 2p)
 Decrecimiento  (90º, 270º)                  (con periodicidad 2p)
 Tendencia  Si , no podemos saber a qué tiende "y"
 Crecimiento  Si , no podemos saber a qué tiende "y"
 
 
       
           
  Victoriano Cuevas Collado
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003