- Definición, gráfica y propiedades:

Definición de la función tangente.

Construcción de la función tangente.

Representación gráfica y propiedades.

Al igual que en el caso de las funciones seno y coseno, vamos a proceder a analizar diversos apartados que desarrollaremos en este capítulo hasta completar el estudio de la función tangente. Las escenas que aparecen nos ayudarán a comprender mejor los conceptos. 

y = tg x

A continuación tienes una tabla donde se relacionan algunos ángulos con sus tangentes correspondientes:

ángulo  en grados (x)	0º	30º	45º	90º	180º	240º	270º	300º	360º	720º	....
tangente (y)	0		1	No existe	0		?	?	?	?	....

Ejercicio: Completa la tabla con las tangentes de los ángulos que faltan.

Como ya sabes, para las funciones trigonométricas, usaremos el ángulo (x) en radianes por lo que  la tabla anterior nos quedaría: 

ángulo en radianes (x)	0				p				2p	4p	....
tangente (y)	0		1	No existe	0		?	?	?	?	....

(NOTA: Es importante no olvidar esto porque en las próximas escenas utilizaremos los radianes como unidades del eje X y aunque los ángulos los expresemos en grados, serán transformados a radianes).

Construcción de la función tangente.

1.- Cambia el valor del ángulo y observa  cómo se va representando el par de puntos que se obtiene al elaborar la tabla de valores.

2.- Prueba qué ocurre al dar al ángulo valores próximos a 90º ¿Y se le diésemos 90º? ¿Y en 270º? 

3.- Da al ángulo valores mayores de 360º y menores que 0º y observa qué ocurre. 

Representación gráfica. Propiedades.

A continuación se presenta la gráfica de la función tangente y a partir de ella vamos a tratar de obtener algunas propiedades.

1.- ¿Para qué valores de "x" existe imagen? 

2.- ¿Qué valores puede tomar "y" (el valor del tangente)? 

3.- ¿Es continua esta función?¿En qué puntos no lo es?

4.- ¿Presenta simetría?

5.- ¿Se repite? ¿Cuál es su período?

6.- ¿En qué puntos corta al eje X? ¿Y al eje Y?

7.- ¿En qué intervalos la función es positiva? ¿Y negativa?

8.- Calcula dónde se alcanzan los valores máximos y mínimos. 

9.- ¿Podrías decir dónde crece y dónde decrece?

10.- ¿Cuánto valdrá la tangente para valores muy grandes del ángulo? ¿Y para valores muy pequeños?

 Si has contestado adecuadamente a las cuestiones anteriores habrás deducido las propiedades de la función tangente. A continuación aparecen las propiedades de dicha función (para una mejor comprensión, los ángulos se han vuelto a expresar en grados en lugar de radianes)

Propiedades de la función    y = tg x 

Dominio	3 -
Recorrido o Imagen	3
Continuidad	Discontinua en los puntos
Simetría	Simetría impar
Periodicidad	Periódica con periodo T = p (180º)
Puntos de corte con eje Y	En y = 0
Puntos de corte con eje X	En x = kp,  (siendo k un número entero)
Signo de la función	Positiva en  el intervalo (0º,90º) (con periodicidad p)   Negativa en el intervalo (90º, 180º) (con periodicidad p)
Máximos relativos	No presenta
Mínimos relativos	No presenta
Crecimiento	(0º, 90º) U (90º, 180º) ( con periodicidad p)
Decrecimiento	Nunca decrece
Tendencia	Si , no podemos saber a qué tiende "y"
Crecimiento	Si , no podemos saber a qué tiende "y"