Gráfica de una función cuadrática
La parábola
INTRODUCCIÓN: La función cuadrática es una función polinómica de segundo grado: y =
ax2+bx+c ; donde a, b y c son números reales.
Dependiendo de los valores que tomen estos números (a, b y c), tenemos las siguientes funciones:
I. La función y = ax2
Es el caso en que a es distinto de cero y b y c son ambos nulos. Dentro de este caso, diferenciaremos otros dos, el primero, el caso en que a>0 (que en la representación aparecerá turquesa) y un segundo caso en que a tomará valores negativos, es decir, a<0 (en la
gráfica lo veremos en color rojo)
1.- Observa que si damos al parámetro "a" valores cada vez más grandes la función se
ESTRECHA, pero si le damos valores cada vez más pequeñas se ENSANCHA. 2.- Nota que en todos los casos, independientemente del valor que tome a, las parábolas pasan por el origen de
coordenadas, que es el punto de menor ordenada de la curva y se llama VÉRTICE DE LA PARÁBOLA.
3.- Comprueba que el DOMINIO de ambas funciones, como el dominio de cualquier polinomio, es todo R.
4.- Verifica que sin embargo el CONJUNTO IMAGEN o RECORRIDO de las funciones
varía. Para la primera ( y=ax2) son los reales positivos; y para la segunda
(y=-ax2), es decir, cuando el coeficiente de la x2 es negativo, son los reales negativos.
5.- Por último, hemos de fijarnos en que las funciones y=ax2 e
y=-a2 son SIMÉTRICAS respecto al eje de abscisas. II. Traslación en la dirección del eje de ordenadas:
y=x2+c
Es el caso en que a=1, b=0 y c es no nulo.
6.- Observa que estas parábolas se obtienen trasladando la gráfica
y=x2, c unidades en la dirección del eje de ordenadas, es decir, el eje Y. III. Traslación en la dirección del eje de abscisas:
y=(x-b)2
Es el caso en que a=1, y b y c son ambos no nulos.
Para llegar a las condiciones en que estamos en este caso, lo primero que hay que hacer es expresar la función
y=x2+bx+c en la siguiente forma: y=(x-h)2; y nota que esto es algo que SIEMPRE vamos a poder hacer.
7.- Observa que las parábolas de ecuación y=(x-h)2 son idénticas a la parábola
y=x2, pero con vértice en el punto (h,0). IV. Caso general: y=x2+bx+c
Es el caso en que a=1,y b y c son números enteros no nulos.
Para que podamos realizar su construcción a partir de la gráfica y=x2, pero trasladándola k unidades en la dirección del eje de ordenadas y h unidades en la dirección del eje de abscisas, lo que tenemos que hacer es escribir la función
y=x2+bx+c en la forma: y=(x-h)2+h; y al igual que en el apartado
anterior nota que esto es algo que SIEMPRE vamos a poder hacer.
8.- Observa cómo al variar los valores de h y k también varía la posición de la parábola con respecto a los ejes de ordenadas.
Autor: Ana Maria del Pilar Martín Puebla
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| © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2000 | |
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