Función área.
En las actividades iniciales hemos calculado áreas de recintos limitados por poligonales utilizando las fórmulas conocidas . Cuando el recinto viene limitado por una curva no podemos usar este procedimiento. En todo caso podemos recurrir a aproximar el área por figuras planas de área conocida. En el siguiente gráfico tienes un ejemplo en el que para calcular el área del recinto limitado por f(x) = x², el eje OX , el origen de coordenadas y la recta x=3.
a/ Halla el área de cada uno de los tres rectángulos que aparecen en gris.
b/ ¿Qué relación hay entre la suma de las áreas de los tres rectángulos y el área del recinto limitado por f(x) = x², el eje OX , el origen de coordenadas y la recta x=3, que aparece en el texto de la parte superior de la gráfica?.
c/ Construye una gráfica con una sucesión de intervalos de medida 0.5 y repite los apartados a y b en tu cuaderno.
d/ Si tomamos las bases de los rectángulos cada vez más pequeñas tendremos una sucesión de rectángulos de manera que la suma de sus áreas se acercarán a un valor, ¿cuál te parece que es ese valor?
En la siguiente representación tomamos los los rectángulos de forma que aproximan el área bajo la curva por defecto.
a/ Halla el área de cada uno de los dos rectángulos que aparecen en rosa.
b/ ¿Qué relación hay entre la suma de las áreas de los dos rectángulos y el área del recinto limitado por f(x) = x², el eje OX , el origen de coordenadas y la recta x=3, que aparece en el texto de la parte superior de la gráfica?.
c/ Construye una gráfica con una sucesión de intervalos de medida 0.5 y repite los apartados a y b en tu cuaderno.
d/ Si tomamos las bases de los rectángulos cada vez más pequeñas tendremos una sucesión de rectángulos de manera que la suma de sus áreas se acercarán a un valor, ¿cuál te parece que es ese valor?
Como habrás deducido el valor al que se acercan la sumas de las áreas de las dos sucesiones de rectángulos es el área del recinto limitado por f(x) = x², el eje OX , el origen de coordenadas y la recta x=3 que aparece a continuación. Observa cómo al variar el valor de la t se modifica el área.
Resumiendo todo lo anterior, para una función f(x) continua y positiva en un intervalo [a, b], llamamos función área , A(x), al área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas verticales de abscisas a y x.
Para la gráfica anterior anota el valor de la función área cuando x = 0, x = 1.5, x = 3.
Para una función continua y positiva en el intervalo [a, b], ¿cuánto valdrá A(a) ?
Observa en la siguiente escena que los valores del área del recinto limitado por f(x) = x², el eje OX , el origen de coordenadas y la recta x=3 coinciden con los valores de A(x) que aparece representada en rojo.
a/ ¿Qué representa A(x) = x3/3?
b/ Si derivas la función A(x), ¿qué función obtienes?
No es casualidad; el teorema fundamental del cálculo integral nos asegura que para una función f(x) continua y positiva en un intervalo [a, b], la derivada de la función área , A'(x) = f(x) para cualquier x del intervalo.
Como la derivada de A(x) es f(x) se dice que A(x) es una primitiva de f(x).
Autoras: Mª Angeles Alamán y Mª Elisa García.