Límites, continuidad y derivabilidad

	LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD EN FUNCIONES A TROZOS
	Análisis

ACTIVIDAD 1

Consideremos la siguiente función f(x) definida a trozos:

En la siguiente escena está representada la función.

Pincha con el ratón en el valor de la abcisa y teclea 1.6. Observa que hay un punto azul sobre la curva. En la parte inferior derecha puedes comprobar las coordenadas del punto.

1.- Construye una tabla para valores de x cada vez más próximos a -2 por la izquierda (-2.1, -2.01, -2.001,...) y otra para valores cada vez más próximos a -2 por la derecha. Compara los resultados con el valor de f(-2).

2.- Expresa en lenguaje matemático (con límites) estos resultados. ¿Qué tipo de discontinuidad hay en x=-2?

3.- ¿Qué otras discontinuidades hay en esta función? ¿Por qué? Utiliza lenguaje matemático.

4.- ¿Por qué es continua en x=4?

Habrás observado que las posibles discontinuidades de una función definida a trozos están en los punto que separan cada trozo.

ACTIVIDAD 2

Consideremos la siguiente función f(x) definida a trozos:

En la siguiente escena está representada la función para a=0, b=0 y k=1. Queremos hallar a, b y k para que sea continua en todos sus puntos.

Se puede arrastrar con el ratón el punto (-2,1); observa cómo cambia la expresión de f(x).

5.- ¿Existe el límite cuando x tiende
a -2 de f(x)? Observa que f(-2)=k. ¿Cuál es el valor de k para que f sea continua en x=-2?

6.- Busca tres rectas para x>1 de modo que f(x) sea continua en x=1 (tres valores para a y b).

7.- Comprueba, usando límites, la continuidad en x=1 para los tres casos del apartado anterior.

Podemos "pegar" un trozo de función con una semirrecta: "pegar" significa que la función resultante sea continua.

ACTIVIDAD 3

En esta escena puedes ensayar la función definida a trozos que tú te inventes.

En esta escena tienes que cambiar, en la parte inferior, el valor 0 que aparece en la expresión
y=a(x)*(0) por la expresión que creas conveniente; y lo mismo en
y=b(x)*(0). Cada vez que cambies el valor de 0 tienes que pulsar la tecla Intro.
No tiene gracia sustituir 0 en las dos sitios con la misma expresión. (Si quieres indicar un producto se usa "*"). Por ejemplo, puedes sustituir 0 por -3*x-2.

8.- Busca la expresión de una función
f(x) definida a trozos que tenga una discontinuidad evitable en x=-1, sabiendo que f(-1)=2.

9.- Busca la expresión de una función g(x) definida a trozos que sea continua en x=-1, sabiendo que g(-1)=2.

10.- Busca la expresión de una función h(x) definida a trozos que tenga una discontinuidad de salto (finito o infinito) en x=-1, sabiendo que h(-1)=2

Podemos "pegar" dos trozos de funciones: "pegar" significa que la función resultante sea continua.

ACTIVIDAD 4

Recuerda:

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente.
Si una función no es continua en un punto, no es derivable en dicho punto.

Consideramos la función:

En la siguiente escena está representada la función para a=0 y b=0. Queremos hallar a y b para que sea derivable en todos sus puntos salvo en x=-3.

Modificando x_o puedes moverte por los puntos de la curva (las coordenadas del punto aparecen abajo a la derecha en azul claro). Para cada punto P aparece dibujada la recta tangente y la pendiente m (abajo a la derecha).

11.- ¿Por qué no es derivable en x=-3 (no aparece la recta tangente)?

12.- Escribe la ecuación de la recta tangente en x=-1 y en x=1.

13.- Modifica a y b para que f(x) sea derivable en x=2. Para facilitar la solución, aparecerá dibujada la recta tangente en x=2 pero no el valor de m: este valor aparece si encuentras la solución.

14.- En la función f(x) para x>2, en vez de la recta y=ax+b, deseo que aparezca una curva. ¿Puedes escribir la expresión de esta nueva f(x)? (Ya no te sirve la escena)

Podemos "pegar bien" dos trozos de funciones: "pegar bien" significa que la función resultante sea continua y derivable. Esta idea se puede ampliar y hablar de "pegar doblemente bien", "pegar triplemente bien", ...: "pegar doblemente bien" significa que la función resultante sea continua y dos veces derivable, ...

	Juan Simón Santamaría

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001