Índice de unidades LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
EN FUNCIONES A TROZOS
Análisis
 

ACTIVIDAD 1
Consideremos la siguiente función f(x) definida a trozos:

En la siguiente escena está representada la función.

 
Pincha con el ratón en el valor de la abcisa y teclea 1.6. Observa que hay un punto azul sobre la curva. En la parte inferior derecha puedes comprobar las coordenadas del punto.

1.- Construye una tabla para valores de x cada vez más próximos a -2 por la izquierda (-2.1, -2.01, -2.001,...) y otra para valores cada vez más próximos a -2 por la derecha. Compara los resultados con el valor de f(-2).

2.- Expresa en lenguaje matemático (con límites) estos resultados. ¿Qué tipo de discontinuidad hay en x=-2?

3.- ¿Qué otras discontinuidades hay en esta función? ¿Por qué? Utiliza lenguaje matemático.

4.- ¿Por qué es continua en x=4

Habrás observado que las posibles discontinuidades de una función definida a trozos están en los punto que separan cada trozo.

ACTIVIDAD 2
Consideremos la siguiente función f(x) definida a trozos:

En la siguiente escena está representada la función para a=0, b=0 y k=1. Queremos hallar a, b y k para que sea continua en todos sus puntos.

 
Se puede arrastrar con el ratón el punto (-2,1); observa cómo cambia la expresión de f(x).

 

5.- ¿Existe el límite cuando x tiende
 a -2 de f(x)? Observa que f(-2)=k. ¿Cuál es el valor de k para que f sea continua en x=-2?

6.- Busca tres rectas para x>1 de modo que f(x) sea continua en x=1 (tres valores para a y b).

7.- Comprueba, usando límites, la continuidad en x=1 para los tres casos del apartado anterior.

Podemos "pegar" un trozo de función con una semirrecta: "pegar" significa que la función resultante sea continua.

ACTIVIDAD 3
En esta escena puedes ensayar la función definida a trozos que tú te inventes.
En esta escena tienes que cambiar, en la parte inferior, el valor 0 que aparece en la expresión
  y=a(x)*(0) por la expresión que creas conveniente; y lo mismo en
 
y=b(x)*(0). Cada vez que cambies el valor de 0 tienes que pulsar la tecla Intro.
No tiene gracia sustituir 0 en las dos sitios con la misma expresión. (Si quieres indicar un producto se usa "*"). Por ejemplo, puedes sustituir 0 por -3*x-2.

8.- Busca la expresión de una función
f(x) definida a trozos que tenga una discontinuidad evitable en x=-1, sabiendo que f(-1)=2.

9.- Busca la expresión de una función g(x) definida a trozos que sea continua en x=-1, sabiendo que g(-1)=2.

10.- Busca la expresión de una función h(x) definida a trozos que tenga una discontinuidad de salto (finito o infinito) en x=-1, sabiendo que h(-1)=2

Podemos "pegar" dos trozos de funciones: "pegar" significa que la función resultante sea continua.

ACTIVIDAD 4
 

 Recuerda:

  • La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente.
  • Si una función no es continua en un punto, no es derivable en dicho punto.

Consideramos la función:

En la siguiente escena está representada la función para a=0 y b=0. Queremos hallar a y b para que sea derivable en todos sus puntos salvo en x=-3

 
Modificando xo puedes moverte por los puntos de la curva (las coordenadas del punto aparecen abajo a la derecha en azul claro). Para cada punto P aparece dibujada la recta tangente y la pendiente m (abajo a la derecha).

11.- ¿Por qué no es derivable en x=-3 (no aparece la recta tangente)? 

12.- Escribe la ecuación de la recta tangente en x=-1 y en x=1.

13.- Modifica a y b para que f(x) sea derivable en x=2. Para facilitar la solución, aparecerá dibujada la recta tangente en x=2 pero no el valor de m: este valor aparece si encuentras la solución.

14.- En la función f(x) para x>2, en vez de la recta y=ax+b, deseo que aparezca una curva. ¿Puedes escribir la expresión de esta nueva f(x)? (Ya no te sirve la escena)

Podemos "pegar bien" dos trozos de funciones: "pegar bien" significa que la función resultante sea continua y derivable. Esta idea se puede ampliar y hablar de "pegar doblemente bien", "pegar triplemente bien", ...: "pegar doblemente bien" significa que la función resultante sea continua y dos veces derivable, ...

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  Juan Simón Santamaría
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001