FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

(EN COORDENADAS CARTESIANAS)

Vamos a utilizar la representación gráfica de una función para deducir, fijándonos en ella,  los aspectos más relevantes de la misma: crecimiento, puntos críticos, concavidad, asíntotas, etc.

1ª ACTIVIDAD: REPRESENTA UNA FUNCIÓN.

En la ventana que ves a continuación vamos a representar una función cualquiera. Para ello seguiremos estos sencillos pasos:

    a-1) Pasos a seguir para representar una función:

1.- En la ventanilla inferior situá el cursor a continuación del signo = que sigue a f(x) y elimina todo lo que está a continuación (que será la expresión de una función anterior).

2.- Escribe la expresión de la función a representar y pulsa la tecla INTRO. Veras que la función aparece representada de forma casi instantánea. Para escribir la expresión de la función hay que tener en cuenta las siguientes normas de notación que utiliza la aplicación:

Utilizando el botón 'zoom' situado en la parte superior puedes ampliar o reducir la zona que desees ver. En combinación con los botones 0.x y 0.y que te permiten moverte hacia los lados o hacia arriba y abajo, podrás conseguir una representación muy precisa de una zona concreta.

    b-1) Ejercicios a realizar:

De una lista de funciones que te puede facilitar tu profesor o que se hayan estudiado o se vayan a estudiar en clase (en todo caso, al final de la página hay una lista de funciones que puedes utilizar) puedes obtener los siguientes datos (de forma bastante aproximada).

    1) Dominio de la función.

    2) Segmentos de crecimiento y decrecimiento.

    3) Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

    4) Posibles asíntotas. 

2ª ACTIVIDAD: COMPARACIÓN CON LA DERIVADA.

Ahora vamos a utilizar la ventana siguiente para representar dos funciones. El objetivo es que representemos una función y su derivada primera, o una función y su derivada segunda o las dos derivadas (primera y segunda), aunque este último caso tiene poca utilidad. Podríamos conseguir una ventana donde se representasen 3 o más funciones, pero eso complicaría la utilidad del invento ya que se perdería la vista en demasiadas líneas.

Damos por supuesto que sabemos calcular la expresión de la derivada de una función (es decir, conocemos las reglas de derivación y la derivada de las funciones elementales), vamos...¡que sabemos derivar!. Sería un buen momento de recordarlo.

   a-2) Pasos a seguir para representar las funciones:

    a) Sobre la ventana de abajo de la izquierda escribe la expresión de la función f(x) (como lo has hecho en la actividad anterior).

    b) Sobre la ventana de abajo de la derecha escribe la expresión de la derivada de la función, es decir, f'(x), donde figura la segunda función g(x).

    Tendremos así representadas la función f(x) y su derivada f'(x).

    De la misma forma, en la posición g(x) podemos poner la expresión de f"(x) con lo que tendríamos la función y su derivada segunda.

    b-2) Ejercicios a realizar:

Con la lista de funciones que has utilizado en la primera experiencia vas a realizar las siguientes comprobaciones (con f (x) y f'(x)):.

    1.1- Que f'>0 cuando f es creciente y f'<0 cuando f es decreciente.

    1.2- Que en los máximos y en los mínimos f'=0. Por otra parte, puedes ver algún caso donde f'=0 sin ser máximo ni mínimo pues ser f'=0 es condición necesaria pero no suficiente para que la función tenga un máximo o mínimo en el  punto.

    De la misma forma, si representamos la función f(x) y su derivada segunda f"(x), podremos comprobar:

    2.1.- Que f"<0 en los tramos donde f es cóncava y f">0 donde f es convexa.

    2.2.- Que en los máximos es f"<0 y en los mínimos es f">0 (como ya se deduce del punto anterior). Representando f' y f" podremos deducir los máximos y mínimos uniendo el apartado 1.2 con este.

    2.2.- Que en los puntos de inflexión f"=0 y f''' es distinta de 0. Puedes ver algún caso donde f"=0 y no es punto de inflexión pues, como sabes de la teoría, f"=0 es condición necesaria pero no suficiente para que la existencia de un punto de inflexión.

TABLA DE FUNCIONES DE EJEMPLO

Luis Pérez Chamorro   © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003