CÁLCULO DIFERENCIAL: Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

 

En las siguientes escenas o imágenes gráficas podemos apreciar unas bandas grisaceas (en la parte superior o inferior). En ellas están situadas unos "controles" numéricos acompañados de dos puntas de flecha: azul y roja. Haciendo clic con el ratón sobre la flecha azul, incrementamos el valor númerico y, si lo hacemos sobre la flecha roja, lo disminuimos. Los valores máximo y mínimo vienen predeterminados. También es posible escribir con el teclado los valores numéricos en los correspondientes rectángulos blancos.

 

Actividad 2.2:  Solución

El control  gráficas  puede tomar los siguientes valores:

    1    Visualiza la gráfica de la función  f ( x ).

    2    Visualiza la recta tangente a la función.

Puedes desplazar la recta tangente a lo largo de la curva. Para ello, basta mover, con el ratón, el punto situado en el origen de coordenadas, o bien, puedes hacer uso de las flechas azul y roja del control  "Ax".

De la observación de la gráfica de la función y de las rectas tangentes en cada punto, es inmediato ver si se verifican o no las hipótesis del Teorema de Rolle. En caso afirmativo, para calcular el valor del punto  "c", basta encontrar el punto en el que la recta tangente a la función es paralela al eje de abscisas.

 

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Actividad 3.2:  Solución

El control  gráficas  puede tomar los siguientes valores:

    1    Visualiza la gráfica de la función  f ( x ).

    2    Visualiza la secante  AB

    3    Visualiza la recta tangente a la función.

Puedes desplazar la recta tangente a lo largo de la curva. Para ello, basta mover, con el ratón, el punto situado en el punto ( -1 , 0 ), o bien, puedes hacer uso de las flechas azul y roja del control  "Ax".

De la observación de la gráfica de la función y de las rectas tangentes en cada punto, es inmediato ver si se verifican o no las hipótesis del Teorema del Valor Medio. En caso afirmativo, para calcular el valor del punto  "c", basta encontrar el punto en el que la recta tangente a la función es paralela a la secante  AB.

 

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Actividad 4.1:  Solución

El control  gráficas  puede tomar los siguientes valores:

    1    Visualiza las gráficas de las funciones  f ( x )  y g ( x ).

    2    Visualiza los valores de [ f ( b ) - f ( a ) ] g ' ( c )  y      

              [ g ( b ) - g ( a) ]  f ' ( c ).

Puedes desplazar el punto situado en el origen de coordenadas a través del eje  X  en el intervalo  [ 0 , 1.57 ]. Para ello, basta mover, con el ratón, dicho punto, o bien, puedes hacer uso de las flechas azul y roja del control  "Ax".

De la observación de las gráficas de las funciones , es inmediato ver si se verifican o no las hipótesis del Teorema del Valor Medio generalizado. En caso afirmativo, para calcular el valor del punto  "c", basta encontrar ( desplazando el punto situado en el origen de coordenadas a través del eje X ) el punto en el que se verifica la igualdad:  [ f ( b ) - f ( a ) ] g ' ( c ) = [ g ( b ) - g ( a ) ] f ' ( c ).

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Alfredo Pena Iglesias.  Curso Descartes,  septiembre - 2002