FUNCIONES CUADRÁTICAS 

1. Se quiere construir un cercado rectangular con 30 m de valla metálica. ¿Cómo varía el área de la superficie vallada?. ¿Cuánto tiene que valer el lado del rectángulo para que la superficie vallada sea máxima?. Haz la gráfica de la función que relaciona la base del cercado (x) con el área del mismo (y).

Nota: Se muestran tres posibles situaciones:

    Completa la siguiente tabla para buscar la relación entre el lado de la base del rectángulo y su área:

    Si x es el valor de la base ¿cómo se obtiene la altura x-15?.

    Arrastrando el punto rojo en el siguiente applet, se obtienen los distintos rectángulos posibles.

    Introduciendo el peso obtienes los mg de medicamento que hay que administrar.

    Arrastrando el control se observa la relación entre el peso y los mg de medicamento.

    c. Si administramos  32 mg de medicamento, ¿cuánto pesa el paciente?. Ayúdate del applet para contestar a la pregunta y luego justifica algebraicamente la respuesta.

    Definición: Toda relación funcional de la forma y=a·x²+b·x+c, donde a, b y c son números reales, con a≠0 se llama funciones cuadrática.

    La representación gráfica de dichas funciones es una parábola.

    ¿Qué ocurre si a=0?.

    La relación que describe el ejercicio 1 (y=15·x-x²) es una función cuadrática, en este caso a=-1, b=15 y c=0.

    Otra forma de expresar la parábola es mediante la ecuación y=a·(x-v₁)²+v₂, donde el punto (v₁,v₂) representa al vértice de la parábola:

    Observa el siguiente applet, manipula los distintos objetos y medita sobre él.

    Desplazamientos verticales y horizontales:  

1. Varía el valor de v₁, se produce un desplazamiento horizontal de la parábola.

2. Varía el valor de v₂, se produce un desplazamiento vertical de la parábola.

3. Representa gráficamente en tu cuaderno las parábolas de ecuación:

    a. y=(x-1)²    b. y=(x+1)²    c. y=(x-1)²+1     d. y=(x-1)²-2

    Comprueba las gráficas utilizando el applet.

    Eje de la parábola: 

    El eje de la parábola es su eje de simetría (si doblamos la grafica de la parábola por su eje las ramas de se unen). El eje tiene por ecuación a x=v₁.

    ¿Cual es la ecuación del eje en las parábolas del apartado 3 anterior?. Compruébalo utilizando el applet.

    Coeficiente de 2º grado. Significado grafico de "a":

    * Si a aumenta en valor absoluto las ramas de la parábola se cierran aproximándose una a la otra. Compruébalo utilizando el applet. La parábola tiende a ser una recta vertical.

    * Si a disminuye en valor absoluto las ramas de la parábola se abren alejándose la una de la otra. Compruébalo utilizando el applet. La parábola tiende a ser una recta horizontal.

   * Si a>0 la parábola es cóncava hacia arriba (cóncava). En el vértice la parábola alcanza un mínimo, es decir pasa de ser decreciente a creciente. Comprueba esta afirmación utilizando el applet, arrastra el punto P (que se encuentra sobre la parábola) de izquierda a derecha y observa las ordenadas.

   * Si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo (cónvexa). En el vértice la parábola alcanza un máximo, es decir pasa de ser creciente a decreciente. Comprueba esta afirmación utilizando el applet, arrastra el punto P (que se encuentra sobre la parábola) de izquierda a derecha y observa las ordenadas.

    Ejercicio:

    1. Dibuja en tu cuaderno cada una de las siguientes parábolas:

    a. y=x²    b. y=2·x²     c. y=-2·x²     d. y=3(x-2)²+1    e. y=-3(x-2)²+1    f. y=-3(x+2)²-1

    Indica las coordenadas del vértice en cada una de las parábolas y la concavidad y los intervalos de crecimiento.

    Comprueba los resultados utilizando el applet.

    2. Indica la ecuación de las siguientes parábolas:

    ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA: y=a·x²+b·x+c