B. Pendiente de una recta y tangente del ángulo con OX+

3. Tangente de ángulos agudos y obtusos.

La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se define como la relación entre los catetos opuesto y contiguo al mismo. Esta relación es independiente del tamaño del triángulo. Para ángulos obtusos la definición clásica es considerar el triángulo desde su suplementario (lo que le falta para valer 180º) y asignándole al cateto contiguo valor negativo, con lo que la tangente se define como negativa.
Observa que estos (agudos y obtusos, de 0º a 180º) son todos los posibles ángulos que puede formar una recta con OX+ (el sentido positivo del eje de abscisas)

3.12.- Usando las flechas roja y azul del control "ángulo" calcula y anota el valor de la tangente para 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º y 180º. Puedes observar la variación de los valores de la tangente pulsando el control "animar".
3.13.- ¿Por qué no existe la tangente de 90º?
3.14.- Pulsa inicio. Modifica el valor del radio (flechas azul y roja del control "radio") en el ángulo de 30º (o en otro cualquiera) ¿Depende el valor de la tangente de ese radio?

4. Relación entre la pendiente de una recta y la tangente del ángulo que forma con OX+

Observa detenidamente la siguiente representación de la recta que pasa por un punto P(x_p,y_p) con pendiente m. En azul está representado el ángulo que forma con OX+.
Manipula primero los controles superiores de escala (zoom) y de desplazamiento de los ejes (O.x, O.y) que te permiten adaptar el gráfico. Pulsa "inicio" para volver a la posición de partida.

4.15.- Copia en la hoja de experimentación todos los valores que aparecen a la izquierda del gráfico, añadiendo una breve descripción de su correspondencia en el dibujo.
4.16.- Mueve la posición del punto sucesivamente hasta (-4,-2), (1,1) y (6,7) y anota qué valores son los que cambian. (Para mover el punto puedes utilizar los controles de la parte inferior o bien pinchar el punto y arrastrarlo. Puede que debas mover los ejes para poder ver el dibujo entero). ¿Sacas alguna conclusión?
4.17.- Ahora que ya has comprobado que el  ángulo y la pendiente no dependen del punto, pulsa el control inicio. Varía la pendiente para que valga 0.8, 1.5 y 2.1. Observa en cada caso el ángulo que forma la recta (en azul), el triángulo (PRS), los valores del cateto opuesto (RS) y del contiguo (PR). ¿Qué cinco valores coinciden para cada valor de la pendiente?
4.18.- Probemos ahora con ángulos obtusos. Posiciona P en (2,0) y haz que m valga -2, -3 y -3.2. Observa que ahora aparecen dos triángulos, que son simétricos. El de la definición clásica de tangente de ángulo obtuso es el de la izquierda. Observa como el cateto contiguo es negativo. ¿Qué cuatro (ahora sólo cuatro) valores coinciden para cada valor de la pendiente?¿Podríamos usar para calcular la tangente el triángulo PRS? ¿Serían entonces cinco los valores coincidentes?
4.19.- Haz cuantas pruebas necesites hasta poder completar en la hoja de experimentación la siguiente frase:
        "La tangente del ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje de abscisas es la  _ _ _ _ _ _ _ _ _"

Para profundizar:

4.20.- ¿Qué segmento coincide siempre en el dibujo con la pendiente (entendiendo el signo como el sentido)? ¿Por qué?
4.21.- ¿Cómo se representa la tangente en la circunferencia goniométrica (de radio 1, en gris en la gráfica)?
4.22.- ¿Cómo se calculan las coordenadas de R y S? Si para ir de P a R avanzo una unidad hacia la derecha ¿que hago para ir de R a S? Completa la siguiente frase:
      "La pendiente de una recta es la distancia que se sube o se baja cuando se _ _ _ _ _ _ una unidad hacia la _ _ _ _ _ _ _" Explica con tus palabras el significado de la frase.
4.23.- ¿Has notado algún cambio en la ecuación de la recta?

puedes pasar a la siguiente página pulsando la flecha azul hacia la derecha que hay debajo.