Teníamos pendiente estudiar el comportamiento de la derivada en las discontinuidades evitables.

Vamos a ver otro ejemplo de una función que tiene en x=2 una discontinuidad evitable. La función es

2.- Sitúate en el punto a=2 y elige un punto a su derecha modificando el valor de h. Observa cómo varían las TVM para h>0 y acercándose a cero. Si h=0 la secante se convierte en una recta vertical. La DERIVADA POR LA DERECHA ES MAS INFINITO.

3.- Sitúate de nuevo en a=2, elige ahora puntos a su izquierda (h<0) y observa la evolución de las TVM. Si h=0 la secante se convierte de nuevo en una recta vertical. LA DERIVADA POR LA IZQUIERDA ES MENOS INFINITO

4.- Esta función NO ES DERIVABLE en x=2 y NO EXISTE TANGENTE en ese punto.

5.- Elige otro punto y acércate a él dando a h valores positivos para ver la derivada por la derecha, y negativos para ver la derivada por la izquierda. Para h=0 aparecen las dos derivadas y coinciden. LA FUNCION ES DERIVABLE Y EXISTE RECTA TANGENTE .

Veamos la función

Se trata de una función que es continua en todos los puntos. Vamos a fijarnos con atención en el punto de abscisa a=0

Fíjate en la siguiente escena:

2.- Fíjate en el valor que toman la TVM en h=1, h=0.1, h=0.01, h=0.001, h=0.0001. Esta función en a=0. NO TIENE DERIVADA POR LA DERECHA PORQUE ES INFINITA

3.- Repite el proceso para h=-1, h=-0.1, h=-0.01, h=-0.001, h=-0.0001 y observa la evolución de las TVM. Crecen muy deprisa al acercarnos a a=0. NO TIENE DERIVADA POR LA IZQUIERDA PORQUE DE NUEVO ES INFINITA

4.- Fíjate en la evolución de las rectas secantes al acercarnos a a=0. Son rectas que se van poniendo verticales

5.- Esta función NO ES DERIVABLE en x=0 porque las derivadas laterales, aunque coinciden, SON INFINITAS.

6.- La función NO TIENE TANGENTE en x=0.

Si una función es continua y creciente, y tiene un punto de inflexión cóncavo-convexo, entonces no es derivable en ese punto. Si la función es continua y decreciente, y tiene un punto de inflexión convexo-cóncavo, entonces tampoco es derivable en ese punto. La derivada es infinita y la tangente es una recta vertical. 

Veamos otra función continua que tampoco es derivable.

Se trata de la función

Fíjate en la escena:

1.- Sitúate en el punto a=0 y elige valores de h cada vez más pequeños como en la escena anterior. Fíjate en la evolución de las TVM y en las rectas secantes.

2.- En a=0 La función NO TIENE DERIVADA PORQUE LAS DERIVADAS LATERALES QUE SON INFINITAS TIENEN ADEMÁS DISTINTO SIGNO. NO EXISTE TANGENTE

3.- En el resto de los puntos sí es derivable y existe la recta tangente.

Veamos un nuevo ejemplo. Se trata de una función que SI tiene TANGENTE y ésta atraviesa la curva.

En la siguiente escena vas a ver reflejada esta situación. Se trata de la función y=x³

2.- Fíjate en el valor que toma la TVM para h=1, h=0.1, h=0.01, h=0.001, h=0.0001. ¿Cuánto vale la derivada por la derecha?

3.- Teclea h=-1, h=-0.1, h=-0.01, h=-0.001, h=-0.0001 y observa la evolución de las TVM. ¿Cuánto vale la derivada por la izquierda en x=0?.

4.- Como ves la tangente se va poniendo horizontal.