Como hemos visto en el apartado anterior, mediante la Regla de Ruffini, se obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio entre el binomio (x - a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un polinomio en particular.

Ejemplo 16.- Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio 10 para los valores de x = -3 y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio

¿Qué has observado?

En la escena se presenta la división, efectuada por la regla de Ruffini, para polinomios de tercer grado y el valor numérico de los polinomios del dividendo para los valores de "a" correspondientes.

Si se desean ejemplos de polinomios de segundo grado basta con hacer que el primer coeficiente (c1) sea 0.

No podrá utilizarse esta escena para polinomios de grado superior a 3.

Teorema del resto:

" El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a) "

Una aplicación muy importante de la división de polinomios es la factorización de polinomios, y en concreto conseguir factores del tipo (x-a).

Ejemplo 17.- Si se realiza el producto (x-2)·(x+3) se obtiene el polinomio x² + x - 6, por lo que puede expresarse dicho polinomio como producto de factores: x² + x - 6 = (x-2 ) · (x+3)

Conseguir, cuando sea posible, expresar un polinomio como producto de binomios de primer grado, en principio del tipo del ejemplo, o al menos algún binomio de ese tipo, es lo que se denomina "factorizar el polinomio".

Para conseguir factores del tipo mencionado (x - a), bastará encontrar valores de "a" para los que la división, que se efectúa por la regla de Ruffini, sea exacta, o sea que el resto sea 0 y aplicar que:

"Dividendo = divisor · cociente + resto" o D = d · c + r, con lo que quedaría D = d · c que en términos de polinomios con la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) · c(x) obteniéndose ya el polinomio dividendo descompuesto en dos factores.

Habrás podido observar que en todos los casos en los que el valor numérico ha sido 0, la división del polinomio por "x - a" es exacta (teorema del resto).

Si has probado bien, habrás encontrado que el valor numérico era 0 para x = 1 (a = 1) y para x = -2 . ¿cuál es el cociente para a = 1?

Una regla muy útil: Los valores de "x = a" enteros, para los que el valor numérico de un polinomio es cero, son siempre divisores del término independiente del polinomio.

Con esta regla es más fácil buscar los valores de "a". Así en el ejemplo 18 sólo pueden ser 1, -1, 2 y -2.

Puedes volver a la última escena y realizar todas las pruebas que desees para comprobar esta regla.

Resolución de ecuaciones de grado 2 o superior.

Ejemplo 19.- En el apartado anterior hemos visto que el polinomio seguiente se factoriza:

2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)

También hemos visto que el valor numérico de dicho polinomio para x = 1 y x = -2 es 0 por tanto si escribimos la ecuación:

2x³ + x² - 5x + 2 = 0, sabemos que dos soluciones de la misma son x = 1 y x = -2.

Estos valores de x se llaman "raices del polinomio", que son por tanto soluciones de la ecuación P(x) = 0.

Además de la ecuación: 2x³ + x² - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1) = 0 se obtiene, además de las dos soluciones anteriores la solución 2x - 1 = 0 ; x = 1/2 = 0.5.

(Se recomienda ver el tema de ecuaciones de primero de bachillerato se se desean ampliar los conocimientos y practicar sobre la resolución de ecuaciones de grado superior a dos).