CASO IV: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Geometría: Resolución de triángulos oblicuángulos
 

1. Resolución del CASO IV

Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:

  • No existe triángulo

  • Existe un triángulo

  • Existen dos triángulos

 

Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a 

El lado a es un segmento unido por un extremo al lado b y que podemos girar libremente pinchando el extremo B del mismo y arrastrando ya representa este un control.

La distancia h=b.sen A  entre el vértice C y la recta AH es determinante para que se pueda o no formar el triángulo.

La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo orden:

  Teorema del seno para calcular el ángulo B

La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C 

  Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c

El siguiente cuadro resume los posibles casos que pueden darse y que el alumno podrá comprobar en las actividades que se proponen más adelante. No es necesario memorizarlo, simplemente hágase una idea de las posibilidades que se tiene:

h = b.sen A > a

ninguna solución
h = b.sen A = a A < 90º una solución
A ³ 90º ninguna solución
h = b.sen A < a a > b una solución
a = b A < 90º una solución
A ³  90º ninguna solución
a < b A < 90º dos soluciones
A ³  90º ninguna solución

 

ACTIVIDADES

14.- Comprobar que inicialmente a = 8, b = 5, A = 60º . Girar el extremo B hasta incidir con la recta AH y compruebe que existe un único punto de corte y por lo tanto existe un triángulo como solución. 

15.- Trata de sobreponer a en h ¿ qué relación hay entre a y h ?. Trata de sobreponer a en b ¿qué relación hay entre a y b?. Consultar después la tabla orientativa anterior  y verificar las respuestas que hayas dado.

16.- Fíjate en la longitud que tiene h y disminuye la longitud del lado a hasta hacer que h > a. Desplaza el control de B, para que la longitud de a se adapte a la nueva situación. ¿ Se forma triángulo ?. Consulta la tabla orientativa anterior y verifica la respuesta.

17.-  Comprueba el caso en que  a > h, a < b y A < 90º. Para ello pulsa el botón de inicio y escribe b = 9. Gira el control para que corte el lado a a la recta AH. ¿ Cuántos puntos de corte se obtienen ? ¿ Cuántos triángulos se pueden construir ?. Consulta la tabla orientativa y verifica la respuesta.

18.- Comprueba que cuando hay dos triángulos, los dos ángulos B posibles son suplementarios (B + B' = 180º) 

19.- ¿ Qué pasaría si en el supuesto anterior haces que A >=90º ?.  Consulta la tabla orientativa y verifica la respuesta.

20.- Escribe  a, b, A  para cada caso de la tabla orientativa y comprueba la solución.

21.- Observa que para que se pueda construir el triángulo es necesario que sen B = h / a 1 ( h = b . sen A  a) y que A + B < 180º

22.- Resuelve los siguientes triángulos, haciendo los cálculos y dibujando  la construcción en tu cuaderno. Para ello usa una calculadora científica (como siempre, puedes valerte de la calculadora de Windows) y emplea las fórmulas dadas en las orientaciones anteriores.

  1. a = 3, b = 5, A = 80º

  2. a = 6, b = 5, A = 36,5º

  3. a = 5, b = 6, A = 36,5º 

NOTA: Cuando un problema tenga dos soluciones,  el ángulo B' del segundo triángulo es suplementario del  ángulo B del primero, B' = 180º - B


         
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001