CURVAS Y SUPERFICIES SENCILLAS
Geometría
 
1. PARÁBOLAS Y CIRCUNFERENCIAS EN EL ESPACIO
Si a las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano

 les añadimos una tercera ecuación z=constante, obtenemos las ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio contenida en un plano paralelo al XY

Las ecuaciones de la forma

           

serán curvas planas paralelas al plano XZ e YZ respectivamente.

El botón de la izquierda abre una escena, en ella puedes usar el ratón pulsando el botón izdo y arrastrando para girar . Para acercar y alejar botón dcho.

1.-Modifica con los controles las coordenadas del vértice de la parábola y la del desplazamiento para ver como obtienes nuevas parábolas. Observa la influencia del valor y del signo de k en la amplitud y orientación de la parábola. Hay controles que no intervienen en las parábolas

2.- Elige circunferencia en el control inferior derecho y cambia los valores del radio, del centro y del desplazamiento para obtener nuevas circunferencias. Observa la relación entre figuras y ecuaciones.

3.- La escena también te permite trabajar con otras curvas relacionadas con la función coseno. Modifica los valores con los controles y observa los cambios en las ecuaciones.

 Una pulsación sobre la escena detiene el giro.

Pulsando inicio se recupera la posición inicial.
2. ELIPSES EN EL ESPACIO
De forma análoga a la empleada en la anterior escena podemos modificar en esta los parámetros que configuran las ecuaciones paramétricas de elipses sencillas, paralelas al plano XY.

No debe resultar complicado, después de estudiar esta escena, reconocer las ecuaciones paramétricas de elipses situadas en planos paralelos al plano XZ o en planos paralelos al plano YZ.
Pulsa el botón izdo y arrastra para girar . Para acercar y alejar botón dcho.

3.-Cambia los radios de la elipse y observa la modificación de las ecuaciones y la transformación de la elipse. Modifica los valores del centro y observa el desplazamiento que se produce dentro del plano que la contiene.

¿Qué valor debes modificar para que la elipse se desplace verticalmente?.

Un clic sobre la escena detiene el giro.

Pulsa el botón Inicio cuando quieras recuperar la posición de partida.
3. ECUACIONES DE SUPERFICIES SENCILLAS RELACIONADAS CON LAS CURVAS ANTERIORES.
Si en las ecuaciones de las curvas anteriores en lugar de mantener constante una de las coordenadas hacemos que tome todos los valores de un intervalo, obtendremos las ecuaciones de una superficie. En los ejemplos u recorre [-4,4] y v también recorre [-4,4]

Curva:   Superficie:  

Si consideramos una circunferencia centrada en el eje Z y situada en un plano paralelo al XY, ocurre que los extremos de los vectores que resultan de multiplicar por un número cualquiera v los vectores de origen el origen de coordenadas y extremo en la circunferencia (r.cos(u), r.sen(u), h) describen una superficie llamada cono de vértice el origen y eje Z. Ver imagen
En la siguiente escena podemos observar y modificar diversos tipos de superficies: cilíndricas, cónicas, parabólicas, etc.
En la parte superior izquierda aparecen las ecuaciones paramétricas de la superficie que visualizamos y en la derecha la forma general de las ecuaciones de superficies del mismo tipo.

Pulsa el botón izdo y arrastra para girar . Para acercar y alejar usa  el botón dcho.

4.-Modifica los valores con los controladores y observa la modificación de las ecuaciones y de las superficies. Ten presente que ciertos controles no intervienen en algunas superficies.

5.-Observa los cilindros y conos, vamos a trabajarlos un poco más en esta unidad

Una pulsación sobre la escena detiene el giro.

Pulsando inicio se recupera la posición inicial.

 

       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003