Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales 

• Función exponencial: 

f(x)=a^x; a > 0, a ¹ 1.

• Función logarítmica:

  f(x)=log_a(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.

   

• Funciones trigonométricas:

  También llamadas circulares

  f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras.

Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:

• f(x)=a^x está definida para todo x en R

• f(x)=a^-x=(1/a)^x, a>1, 0<1/a<1

• f(x)=log_a(x) está definida para x>0

• Representaremos el logaritmo decimal log₁₀(x) por log(x) y el logaritmo neperiano log_e(x) por ln(x), siendo e=2,718281... el llamado número 'e'

• f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2p

• f(x)=tg(x) no está definida para x=p/2 +kp. Su periodo es p.

• Cuando se trate de funciones compuestas del tipo: a^g(x), log_a(g(x)), tg(g(x)), etc, debemos observar el dominio compuesto de g(x) y de la función trascendente.

Ejemplo: f(x)=log (x/(x-1)) no está definida para los valores de x/(x-1) donde ésta no lo ésta, x=1, y para los valores x tales que x/(x-1) es menor o igual a 0. Por tanto D_f=(-inf,0)U(1,+inf)

A modo de repaso, mostramos en el siguiente programa las gráficas de las funciones trascendentes elementales: e^x, e^-x y sus inversas respectivas ln(x), log_1/e(x). Comprobar que las funciones inversas son entre sí simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y=x. Analizar las posibles asíntotas y las ramas parabólicas que presentan.

El/la estudiante podrá comparar las diferencias al editar exponenciales y logarítmicas con diferente valor de la base a, sustituyendo las entradas f(x), g(x) y h(x).

Observar: La función e^x se representa en el programa como exp(x) y la función ln(x) como log(x). Cualquier otra exponencial a^x deberá darse como a^x y cualquier otra logarítmica log_a(x) como log(x)/log(a).

Analizar y representar la gráfica de f(x)=e^x/x

a) Dominio:

 El cociente no está definido para x=0, por tanto D_f=R-{0}

b) Cortes con los ejes coordenados: 

- Corte OX: y=0 no es posible pues e^x no se anula. 

- Corte OY: x=0 no es posible pues no está definida para ese valor.

c) Regiones:  

Como e^x es positiva para todo x, resulta que f(x) >0 para x>0 y f(x)<0 para x<0.

d) Ramas infinitas:

- Rama parabólica:

- Asíntota horizontal: y=0

- Asíntota vertical: x=0

e) Información de la derivada primera:

Puesto que e^x>0 y x²>0, el signo de f'(x) es el signo de x-1. 

• f'(x)<0 si x<1: f(x) decrece para x<1

• f'(x)>0 si x>1: f(x) crece para x>1

• f'(x)=0 si x=1: Mínimo relativo en x=1

f) Información de la derivada segunda:

Es fácil probar que x²-2x+2 >0 para todo x, por tanto el signo de f''(x) es el mismo que el de x³

• f''(x) >0 si x>0: f(x) convexa

• f''(x) <0 si x<0: f(x) cóncava

• No hay puntos de inflexión

Analizar y representar la gráfica de f(x)=ln(x²+1)

a) Dominio: R pues x²+1 >0 para todo x

b) Cortes con los ejes coordenados:

- Corte con OX: y=0 -> x=0. Corta en (0,0)

- Corte con OY: x=0 -> y=ln(1)=0. Corta en (0,0)

c) Simetría: Respecto del eje OY pues f(x)=f(-x)

d) Regiones:  Como x²+1 > 1, x¹0, se tiene que f(x) >0

e) Ramas infinitas: 

-Ramas parabólicas: 

f) Información de la derivada primera:

• f'(x)<0 si x<0: Función decreciente

• f'(x)>0 si x>0: Función creciente

• f'(x)=0 si x=0: Mínimo relativo 

g) Información de la derivada segunda:

• f''(x) >0 si  -1 < x < 1: Función convexa

• f''(x)<0 si x < -1 ó x > 1: Función cóncava

• f''(x)=0 si x= -1 ó x= 1: Puntos de inflexión

(-1,ln(2)), (1,ln(2))

Analizar y representar la gráfica de f(x)=x+sen(x)

a) Dominio: R

b) Cortes con los ejes:

- Con el eje OX: y=0 ® -x=sen(x) ® x=0; (0,0) y no hay más puntos pues ya veremos que la función es creciente.

- Con el eje OY: x=0  ® y=0; (0,0)

c) Simetría: Respecto del origen (0,0) pues -f(x)=f(-x)

d) Comportamiento en el infinito: Esta función tiene un comportamiento especial en el infinito que no hemos tratado aún. 

no existe este límite pues sen(x) oscila entre -1 y 1.

Si repasamos este comportamiento en el infinito, vemos que si m ó n no existen no hay rama parabólica.

e) Información de la derivada primera: 

f'(x)=1+cos(x)

f'(x)=0  si cos(x) = -1 y esto es cierto para x=(2k+1)p ; para cualquier otro valor de x, cos(x) > -1 y por tanto f'(x) >0, es decir la función f(x) es creciente en el dominio. 

No existen extremos relativos.

f) Otras informaciones: 

f''(x)=-sen(x); f'''(x)=-cos(x)

Para x=kp,  f''(x)=0 y f'''(x) ¹ 0, luego estos son puntos de inflexión.

• f''(x) < 0 en  (0, p), (2p, 3p),...

es decir en los intervalos  (2kp,(2k+1)p)

 k=0, ±1, ± 2, ±3 ... la función es cóncava

• f''(x) >0 en los intervalos (p,2p), (3p,4p),...

es decir en los intervalos ((2k+1)p,(2k+2)p)

 k=0, ±1, ± 2, ±3 ... la función es convexa

Analizar y representar la gráfica de las siguientes funciones trascendentes:

1: f(x)= x²e^-x

2: f(x)=x/ln(x)

3: f(x)=ln(x²-1)

4: f(x)=e^cos(x)

El programa de la derecha permite ver la gráfica de las funciones anteriores y de alguna manera facilita la comprobación de los resultados que el/la estudiante obtenga del análisis.

En el apartado de ayuda damos las expresiones de las funciones f'(x) y f''(x)