INTEGRAL INDEFINIDA
1. FUNCIÓN DERIVADA

La derivada de una función en un punto se define como el siguiente límite

  o bien lim2.gif (1565 bytes) si h = x-x0

Si una función y=F(x) es derivable en su dominio, es posible definir una nueva función, que llamaremos función derivada y que representaremos por y=F'(x), que asocie a cada número real del dominio x0 la derivada de la función F en ese punto x0.
1.- Calcula la fórmula de la función derivada de la función F(x)=0.25x2-3 utilizando las reglas de derivación.

2.- Calcula los valores de F'(-1), F'(0) y F'(2) utilizando la definición de derivada como límite. Compara con los procedimientos obtenidos en la actividad 1.

Recuerda que la derivada de una función en un valor x0, se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (x0,f(x0)).
La pendiente de una recta se puede calcular midiendo la diferencia de altura que hay entre un punto de la recta y el punto que tiene una unidad más de abscisa.
3.- Calcula la fórmula de la función derivada de la función F(x)=0.25x2-3, utilizando la definición de derivada en un punto, para cualquier punto genérico x del dominio.

4.- Cambia el valor de C y observa como varias funciones tienen la misma función derivada. ¿Qué relación hay entre todas estas funciones que tienen la misma derivada?.
2. EL PROBLEMA RECÍPROCO
Dada una función y=f(x), se busca otra función F cuya derivada sea f. Es decir F'(x)=f(x). A esta función F se le llama función primitiva de la función f.
5.- Para cada valor de x conocemos f(x) o lo que es lo mismo la derivada de la función F en x. ¿Podremos recuperar la grafica F a través de las tangentes?.
Cambia el valor de x0 usando el pulsador azul.

6.- Compara los resultados obtenidos con la escena anterior. ¿Podríamos haber obtenido otra función primitiva?.
3. AMBIGÜEDAD DE LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Un vez que hemos visto las actividades anteriores parece razonable pensar que hay dos preguntas a las que tenemos que dar respuesta:
  1. ¿La primitiva de una función es única?
  2. ¿Qué relación habrá entre dos primitivas distintas, si las hubiera, de la misma función?.
7.- Deduce que siguiendo el proceso de razonamiento del ejercicio 4, si varias funciones distintas tienen la misma derivada, recíprocamente una función tiene varias primitivas.
El punto P modifica su posición si se cambia el valor de las coordenadas de P o se arrastra.

8.- Modifica la posición de P y varía el parámetro x0. Observa los resultados y deduce el papel que ha jugado el punto P.

Una función f tiene infinitas primitivas y cada una de ellas queda determinada por un punto por el que pase la gráfica
4. INTEGRAL INDEFINIDA
Se define la integral indefinida al conjunto de todas las primitivas de la función f. Se representa por la expresión indefinida.gif (1042 bytes). Se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y a lo que le sigue integrando.
9.- Calcula la integral indefinida de la función constate igual a cero (f(x)=0).
La escena contigua puede facilitarte la resolución de la actividad 9

10.- Basándote en la actividad anterior, demuestra que dos primitivas de una misma función f difieren en una constante, esto es F(x)=G(x)+k. Indicación: Prueba primero que F-G es una primitiva de la función 0.

Del resultado anterior se obtiene una forma práctica de calcular la integral indefinida de una función. Basta calcular una primitiva F(x), y la integral indefinida es el conjunto de todas las funciones que se obtienen de una sumar una constante cualquiera a la primitiva F.
Así  indefinida2.gif (1177 bytes)
11.- Utilizando las propiedades de linealidad de la derivada (la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función sumando y la derivada de un número por una función es el número real por la derivada de la función), demuestra las propiedades de linealidad siguientes de la integral indefinida:
  • lineal1.gif (1471 bytes)
  • lineal2.gif (1457 bytes)
  • lineal3.gif (1295 bytes) con a un número real.
Enrique Martínez Arcos
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001