Geometría de los determinantes 

  2º de Bachillerato Científico-tecnológico

p3_ El determinante de orden n es una n-forma multilineal

p3_a) Al multiplicar un vector fila de un determinante por un escalar, el determinante resultado es el inicial multiplicado por ese escalar:

 

 

 

Pasos de la escena

1.-Variar el valor del parámetro esc para ver lo que ocurre al multiplicar un determinante, o área por un número.

2.-Clic en animar, así vemos lo que ocurre al tomar el segundo vector multiplicado por el número (esc) escogido.

3.-Clic en Inicio y volver a comenzar.

 

Se pueden variar los parámetros de la escena, introduciendo nuevos valores, o haciendo clic y arrastrando en los extremos de los vectores azul y marrón de la izquierda

 

p3_b)

 

En la izquierda de la escena se representa la suma de los dos determinantes,     y en la derecha tenemos el area orientada definida por  

Si en la figura de la izquierda intercambiamos el triángulo entre los segmentos marrones con el determinado por los 3 vectores marrones, obtendremos la figura de la derecha. Un clic en animar nos ayuda a verlo en este caso inicial. Es interesante ver como en cualquier caso estas areas orientadas coinciden.

 

En la escena, se pueden variar los vectores fila haciendo clic en el extremo del vector y arrastrándolo a una nueva posición; así observamos como las figuras de la derecha y de la izquierda dan las mismas áreas orientadas.

 

Esta propiedad y la anterior se resumen diciendo que el determinante de orden n es multilineal

 

p4_ El determinante de la matriz identidad es gual a uno 

Esta propiedad es evidente pues la matriz identidad determina un paralelogramo de base 1 y altura 1.

 

Las propiedades 2,3 y 4 caracterizan a los determinantes de orden n como aplicación, del conjunto de las matrices cuadradas de orden n, en |R, es decir, cualquier aplicación f: Mn(|R) _____> |R que cumpla las propiedades 2, 3 y 4 coincide con el determinante: f(A)=detA.

El determinante es la única aplicación de  Mn(|R) en |R que cumple las propiedades 2, 3 y 4

También las propiedades 1, 2, 3a y 4 caracterizan a los determinantes de orden n como aplicación, del conjunto de las matrices cuadradas de orden n, en |R, es decir, cualquier aplicación f: Mn(|R) _____> |R que cumpla las propiedades 1, 2, 3a y 4 coincide con el determinante: f(A)=detA

El determinante es la única aplicación de  Mn(|R) en |R que cumple las propiedades 1, 2, 3a y 4

 


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  Consolación Ruiz Gil
 
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