Resumen y objetivos

Según apuntamos en la introducción, el objetivo de esta comunicación es proporcionar, de forma asequible a Segundo de Bachillerato, una fórmula general para calcular distancias entre subvariedades lineales afines, así, cuando se trate de hallar distancias, el alumno solo tendrá que recordar una fórmula, válida en cualquier dimensión.

Esta fórmula se basa en la interpretación geométrica del determinante de una matriz. 

Un determinante de una matriz de orden dos es, en valor absoluto, el área del paralelogramo determinado por sus vectores fila. Un determinante de orden 3 es, salvo el signo=orientación, el volumen del paralelepípedo que determinan las filas de la matriz. 

(Véase http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/determinantes/inicio.htm )

Se ampliará  este concepto geométrico y algebraico a las matrices rectangulares con el elemento de volumen de una matriz A, , así veremos y demostraremos que

la longitud del vector fila de una matriz A de orden 1xm es el valor de

el área del paralelogramo determinado por los dos vectores fila de una matriz A de orden 2xm es el valor de

el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de una matriz A de orden 3xm es el valor de  

Es fácil ver que cuando A es cuadrada, coincide con el valor absoluto del det (A).

Se obtendrá la siguiente fórmula, 

Sea S ≡P+<D>  una subvariedad lineal que pasa por el punto P y cuya dirección está determinada por los vectores fila de la matriz D y sea S'≡P'+<D'> otra subvariedad. Designemos por R una matriz cuyas filas son una base de <D>+<D'>

Empleando la fórmula