FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Bloque: Análisis
 
1. DESCRIPCIÓN. logaritmos decimales y neperianos

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo.

La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como ln (x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)).

En la siguiente escena están  representadas las dos funciones logarítmicas mencionadas.
"Atención que  en las escenas que veremos, se llama log(x) al logaritmo neperiano y log10(x) al decimal"
1.- Recuerda y si no es así anota en tu cuaderno el siguiente resumen teórico.

Seguramente ya se han estudiado los logaritmos por lo que conoces la definición de logaritmo de un número (b) en una cierta base (a): loga(b)=n si se cumple que an=b.

Definíamos por tanto el logaritmo en una cierta base "b" de un número "a" como el exponente al que hay que elevar la base b para obtener el número a.

Esto nos relaciona la función logarítmica con la exponencial. También lo veremos posteriormente de forma gráfica.

Además sabremos que la base (b) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función exponencial) y además no debe ser 1 ya que log1(a) en general no existe ya que si a no es 1 ,1n no puede ser a.

Sabemos también que las bases más utilizadas para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número "e=2,718281.." (logaritmos neperianos).
2. LOGARITMO DE BASE UN NÚMERO CUALQUIERA

La escena que se te presenta a continuación, muestra la función logarítmica para una base cualquiera y = loga(x)
1.- Observa los valores que va tomando "y" si se van variando los de x (cámbialos en la ventana inferior correspondiente).
Si se desean ver más valores en la pantalla basta reducir la escala, señalando sobre la flecha roja del botón "zoom". Aunque no veas los valores en la gráfica, los verás en la parte superior izquierda de la escena"

2.- Haz lo mismo con los valores de "a" ¿qué se va observando?

3.- En particular observa por ejemplo los logarítmos en base 2 de 2, 4, 8, 16, etc. o los logaritmos en base 10 (decimales) de 10, 100, 1000, etc.
4.-En particular observarás que la función no existe cuando a es negativo ni cuando a = 1 como ya habíamos comentado.

5.- Fíjate la diferencia entre las funciones cuando a>1 o cuando a<1. ¡se producen cambios que te recuerdan a los de la función exponencial!

6.- Calcula el valor de la letra desconocida en los siguientes casos (utiliza la definición de logaritmo y ayúdate de la escena ).

a) log39 = k; .. b) log1/2 8 = k; .

c) loga 625 = 4; d) loga 1 = 0 ; 

e) log10 x = 4 ; f) log3x = 2

De estas observaciones deducimos las primeras consecuencias para las funciones logarítmicas.

- Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar debe ser a > 0 y a # 1.
3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y SU INVERSA LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
En la siguiente escena se te presenta la función logarítmica de base "a" y la función exponencial de la misma base.

1.- Obseva los valores que van tomando ambas funciones cuando va variando la base o la x.

2.- En particular por ejemplo, para base a = 2 y x = 2, la función exponencial valdrá 4 y la logarítmica 1, mientras que, por ejemplo para x = -1, y a = 2, la función exponencial vale 0,5 y la logarítmica no existe.

Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra, aunque quizás aun no conocerás el concepto de función inversa. Gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x, como se ve en la escena.
4. PROPIEDADES GENERALES
Supondremos, a partir de ahora, que a > 0 y que a # 1 . En esta escena observaremos las propiedades.

1.- Observa que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x. (puedes utilizar la definición de logarítmo para ver que el logarítmo de un número negativo o  de 0 no existen).

Decimos por tanto que:

DOMINIO de la función logarítmica es R+ o el intervalo (0, infinito)

2.- Demuestra numéricamente que log0(a), log2(-3), log1/2(-4) y en general loga(b), siendo b un número negativo, no existen, utilizando la definición de logaritmo. Obsérvalo en las escenas gráficas.
3.- Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (1,0) (para verlo basta con que asignes en la escena a x el valor 1 y observes el de y. Por tanto la gráfica siempre:

CORTA AL EJE DE ABSCISAS en el punto (1,0).

4.-Observa que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1 ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), se dice por ello que:

EL EJE Y ES UNA ASÍNTOTA VERTICAL
       
           
  Leoncio Santos Cuervo
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001