INTERPOLACIÓN_2
Bloque :Análisis
 
1. CÁLCULO DE x1/3 MEDIANTE INTERPOLACIÓN
En este apartado utilizaremos la interpolación para realizar cálculo aproximado de valores de una función utilizando como ejemplo la función y=x1/3, es decir, la función raíz cúbica. En particular, haremos el cálculo de 21/3.

Basta observar que 13=1; 1,23=1,728 y 1,43= 2,744 para ver que la tabla:

xi 1 1,728 2,744
yi 1 1,2 1,4
 
corresponde a tres puntos de la función y=x1/3 y a partir de ella podremos calcular aproximaciones a 21/3.

En la escena que a continuación viene, sustituir cada una de las funciones que se encuentran en ellas por las que se obtendrán en los ejercicios propuestos. Si los ejercicios se realizan correctamente, los polinomios obtenidos deberán pasar por los puntos de la tabla. Utilizar el control para visualizar, de forma aproximada, los valores de las funciones que corresponden a x.


1.- Calcular mediante interpolación lineal 21/3. Utilizar los puntos (1,728, 1,2) y (2,744, 1,4).

2.- Calcular mediante extrapolación lineal 21/3. Utilizar los puntos (1, 1) y (1,728, 1,2).

3.- Calcular mediante interpolación cuadrática 21/3.

Recordar que para realizar los cálculos se puede usar la escena del apartado correspondiente al Método de Newton.

 

4.- Construir una tabla, de forma análoga a como se hizo anteriormente, que permita una mejor aproximación de 21/3 mediante interpolación lineal y cuadrática. Representar los polinomios obtenidos en la escena anterior.

5.- Utilizando una calculadora, hallar 21/3 y comparar los resultados obtenidos en los ejercicios precedentes con el dado por la calculadora.

6.- Calcular la raíz cúbica de 0,5 mediante interpolación cuadrática. Cada persona que emprenda este ejercicio deberá construir su propia tabla. Representar el polinomio obtenido en la escena anterior.
4. POLINOMIOS DE LAGRANGE
Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) (de abscisas distintas) llamamos Polinomios de Lagrange a los siguientes:
 
Una simple observación de P0(x) nos dice que P0(x0)=y0 y P0(x1)=P0(x2)=0. ¿Qué se observa para P1(x) y para P2(x)? Teniendo en cuenta lo anterior, el polinomio P(x)=P0(x)+P1(x)+P2(x) pasa por los tres puntos dados. P(x) es el Polinomio Interpolador de Lagrange. Esta forma de construir el polinomio de interpolación es especialmente útil si se utiliza un lenguaje de programación para evaluarla, pues el programa necesario para hacerlo es muy fácil de realizar.


7.- Dados los puntos (x0, y0)=(-1, 6), (x1, y1)=(2, 3) y (x2, y2)=(3, 10), construir el polinomio interpolador de Lagrange P(x) y, sin desarrollar P(x), hallar P(1,5). Simplificar la expresión anterior lo más posible. Antes de realizar la simplificación, ¿cuál será el polinomio resultante?

La siguiente escena nos mostrará gráficamente todos los polinomios involucrados en los párrafos anteriores. La escena se podrá modificar utilizando tanto los parámetros como los controles que en ella figuran.

8.- ¿Cuál será la Fórmula de Lagrange correspondiente a la interpolación lineal?

9.- Calcular mediante interpolación lineal y cuadrática 21/3 y 0,51/3 utilizando el Polinomio Interpolador de Lagrange. Utillizar la escena para visualizar el polinomio de 2º grado obtenido. En la escena, poner en lugar de uno de los Pk(x) la función y=x1/3 para observar como se aproxima el polinomio interpolador de 2º a la función.

10.- Escribir los polinomios interpoladores de Newton y de Lagrange de 3º y 4º grado.

     
         
  Salvador Calvo-Fernández Pérez
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001