DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Observa el recorrido de una bola en el aparato de Galton (utiliza animar y los controles para que vaya paso a paso). En cada bifurcación la bola puede ir a la izquierda con probabilidad p o a la derecha con probabilidad q=1-p. La variable aleatoria que toma valor 0 si cae a la izquierda o 1 si cae a la derecha se llama de Bernoulli. La variable X que da el número de unos al finalizar el recorrido (suma de variables de Bernoulli independientes) se llama binomial. ¿Qué valores puede tomar X?.

Actividad 1. Halla la probabilidad de que X tome el valor 0 para diferentes valores de p ( 0.5, 0.9, 0.1...). ¿Cuál es el valor más probable de X para p=0.5?.

Actividad 2. Simula en el aparato de Galton el lanzamiento de un dado ( p=1/6 ). ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 1 en 6 lanzamientos? Haz la prueba con 100 lanzamientos (Control Num. bolas) y comprueba que coinciden aproximadamente el resultado teórico y experimental.

La distribución de probabilidad de la binomial B(n,p,q) se encuentra en la siguiente escena:

Actividad 4. También con 100 bolas o más en el aparato de Galton, comprueba que para p=0,5, p=0,1, p=0,9 se obtiene una frecuencia relativa del número de bolas que caen en la casilla k=0, 1, 2, 3,... (número que aparece en el rectángulo blanco) igual aproximadamente al valor teórico de probabilidad P(X=k). ¿Qué diferencia hay entre una variable aleatoria y una variable estadística?

Actividad 5. Halla para los valores del apartado anterior la media y desviación típica de las frecuencias relativas que aparecen en el rectángulo blanco de la escena y comprueba que son aproximadamente la media y desviación típica de la binomial; es decir, np y la raíz cuadrada de npq respectivamente.

Actividad 6. Comprueba, moviendo los controles, que cuanto más grande sea el número de pruebas y el número de filas en el aparato de Galton, si p está próximo a 0,5 la distribución es aproximadamente normal.

LA BINOMIAL APROXIMADA POR LA NORMAL

Si X es una variable binomial de parámetros n y p, se puede considerar que X sigue aproximadamente una distribución normal Y de media m=np y desviación típica s, la raíz cuadrada de npq. Para utilizar correctamente esta transformación de una variable discreta, X, en una continua, Y, es necesario una "corrección de continuidad", así la probabilidad de que X=k como discreta, es la probabilidad de que k-0,5<=Y<=k+0,5 como continua

Actividad 7. Comprueba, con una tabla de la distribución normal tipificada; es decir, m=0, s=1, que la siguiente escena contiene los mismos valores, halla, por ejemplo, P(-1,96<Y<1,96), P(-2,58<Y<2,58). ¿Qué valores deben tomar a y b en la escena para hallar P(Y<=2,58); P(Y>-1,96) etc?

Actividad 8. Halla, variando los controles de la escena, las siguientes probabilidades: P(Y>=0,21) para una normal N(0,2, 0,0126); y P(Y>180) para una normal N(192, 6,197).

Actividad 10. Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 170 alumnos a selectividad y se sabe que suelen aprobar el 80% de los presentados. ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 150 y 160?. ¿Y más de 160?