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ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA |
| Estadística | |
| ESTIMACIÓN
POR INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA |
Sea desconocida la media poblacional de una cierta variable que deseamos estudiar, sacamos una muestra y se trata de obtener un intervalo (L1,L2) de forma que tengamos una probabilidad alta (1-alfa)% de que la media poblacional esté en ese intervalo. El nivel de confianza del intervalo (1-alfa)% lo fijamos nosotros., se suele trabajar con 95% y a veces con 99% o el 90%; es decir, con probabilidad 0.05, 0.01 o 0.1. Si se cumple una de las siguientes hipótesis:
El intervalo de confianza para la media poblacional es:
Donde z es el valor que en la
distribución N(0,1) deja a su derecha un área de alfa/2, |
Actividad 15. A una muestra de 150 estudiantes de 2º de Bachillerato n cierta ciudad correspondió una estatura media de 1,73 m, siendo la desviación típica de 4,95 cm. Estima la estatura media de la población, y calcula, para un nivel de confianza del 99%, el intervalo de confianza para la media. En primer lugar comprueba se cumplen las hipótesis, calcula el valor de alfa y en la tabla de la N(0,1) encuentra el valor de z que deja a su derecha un área de alfa/2. Anótalo en el cuaderno de trabajo. A continuación introduce los datos en la escena siguiente y se calculará el intervalo de confianza. Cambia la escala si el gráfico no se ve correctamente. Observando el intervalo podemos apreciar cual será el error máximo cometido. ¿Cuál es? Escribe la fórmula del error máximo cometido. |
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| Por tanto podemos estimar la estatura media de la población, con un nivel de confianza del 99%, en 1,73 cm, con un error máximo de 1.04. | ||||||||||||
Actividad 16. Se considera los siguientes tiempos de reacción de un producto químico en segundos:
Obtener un intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de reacción suponiendo que la variable es normal. Utiliza la primera escena para calcular la media y la desviación típica, recuerda que es la raíz cuadrada de la varianza, después utiliza la escena anterior par calcular el intervalo de confianza. |
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| ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
PARA LA PROPORCIÓN |
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Sea p desconocida la proporción de elementos en la población pertenecientes a una categoría C, sacamos una muestra y se trata de obtener un intervalo (L1,L2) de forma que tengamos una probabilidad alta (1-alfa)% de que la proporción esté en ese intervalo. Si se cumple una de las siguientes hipótesis, y que habrá de comprobarlas en todos los problemas son: En estas condiciones se obtienen los siguientes intervalos según el tamaño de la muestra:
Donde |
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Actividad 17. En cierta población se seleccionó aleatoriamente una muestra de 300 personas a las que se les sometió a cierto test cultural. De ellas, 225 resultaron aprobadas. Teniendo en cuenta esta información, estimar el porcentaje de persona de esa población que resultarían aprobada si se las sometiera a dicho test cultural. Obtener, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para la proporción. Primero calcula, utilizando la escena segunda, cual es el valor de la proporción en la muestra. Después calcula el valor de alfa y en la tabla de la N(0,1) encuentra el valor de z que deja a su derecha un área de alfa/2. A continuación introduce los datos en la escena siguiente, comprueba que se verifican las hipótesis y se calculará el intervalo de confianza. Cambia la escala si el gráfico no se ve correctamente. Observando el intervalo podemos apreciar cual será el error máximo cometido. ¿Cuál es? Escribe la fórmula del error máximo cometido. |
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Por tanto podemos estimar el porcentaje de personas de esa población que resultarían aprobada si se las sometiera a dicho test cultural en un 75%, con un error máximo de 0.05 para un nivel de confianza del 95%. |
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Actividad 18. Estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de pintura abstracta que hay en un museo, si en una determinada muestra de 100 cuadros, 41 son abstractos. Escribe la fórmula del error máximo cometido válida para tamaños de la muestra menores o iguales de 100 y mayores de 30. |
| EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL |
Consiste en calcular el tamaño de la muestra necesario para que el error cometido al estimar el parámetro sea menor que una cierta cantidad, e, con un nivel de confianza de (1-alfa)%. Como para la media el error máximo
cometido era de Haciendo lo mismo para la proporción,
como el error es Para estimar los parámetros desconocidos utilizaremos una muestra piloto (una muestra pequeña que tomamos al principio para calcular el parámetro que se sustituye en la fórmula pero que no es muy aproximado, una vez calculado el tamaño muestral se amplía esa muestra) |
Actividad 19. A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha estimado el gasto medio mensual por familia en electricidad en 50 €, con una desviación típica de 31.05 €, con un nivel de confianza del 99%. Calcular el error cometido. ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 3? Utiliza la escena siguiente.
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| Observa como si disminuimos el error máximo el tamaño de la muestra aumenta. Prueba para comprobarlo con 2 y 1 como errores máximos.
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Actividad 20. De qué tamaño habría que elegir una muestra para estimar la proporción de alumnos del instituto que le gusta el fútbol con un nivel de confianza del 95% y un error inferior a 0.05, si en una muestra de 10 alumnos, 6 de ellos respondieron que les gustaba el fútbol. Utiliza la escena siguiente.
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Adaptación de María Vicenta Cabalgante Perera de la unidad: de: María José García Cebrian |
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| © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003 | |
es la media en la
muestra, s la cuasidesviación típica (raíz cuadrada de la cuasivarianza) o la
desviación típica y n el tamaño de la muestra.
, z es el
valor que en la distribución N(0,1) deja a su derecha un área de alfa/2, n el tamaño de
la muestra.
para garantizar que este valor sea menor o igual que un cierto error 
, despejando n resulta 
. 
, tenemos que 
.