Curvas clásicas en coordenadas paramétricas

PARTE III

HIPOCICLOIDES

Dentro de esta familia de curvas incluimos las "hipocicloides ordinarias", las "hipocicloides acortadas" (hipotrocoides cortos) y las "hipocicloides alargadas" (hipotrocoides largos)

Las hipocicloides ordinarias (hipocicloides) son curvas generadas por un punto P de una circunferencia de radio r al girar interiormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio R. (r<R)
La curva generada depende de la relación entre los radios de ambas circunferencias. Hay que señalar que si n=R/r es entero, la hipocicloide generada por el punto P se cerrará al cabo de una vuelta, y podremos observar que tiene n cúspides.

Casos particulares de hipocicloides ordinarias:

Las "hipocicloides acortadas" (hipotrocoides cortos) son curvas que se pueden obtener con un Spirograph, haciendo rodar un círculo interior sobre otro círculo, que permanece fijo, colocando un bolígrafo en cualquier punto (agujero) del círculo que rueda.

Casos particulares de hipocicloides acortadas:

  • Si R=2r y a=0, P está en el centro del círculo móvil y describe una circunferencia.

  • Si R=2r y a<>0 P no está en el borde del círculo ni en el centro y describe una elipse.

     

 

Las "hipocicloides alargadas" (hipotrocoides largos) son curvas generadas de modo análogo a las hipotrocoides cortas pero en las que el punto P es un punto vinculado al círculo que rueda pero dentro del disco

La ecuación general de las epicicloides alargadas se obtiene de análoga forma que la de la acortada, solamente tenemos que tener presente que a>r

 

En la figura se muestra la geometría del Hipotrocoide corto en la cual un círculo de radio r rueda por el interior de un círculo fijo de radio R.

Actividad 8:

  1. Trata de encontrar su ecuación observando la escena.

  2. Comprueba, pulsando las flechas del botón "Demo"  que tu demostración es correcta. 

 

 

 

Actividad 9:

  1. Cambia los valores de los controles y observa la colocación inicial de los puntos respecto a la circunferencia de radio r.

  2. Con las flechas del control ángulo verás como se generan las curvas.

  3. Observa en la parte superior, en el color correspondiente a la gráfica, el tipo de curva que describe el punto considerado y a su derecha el nombre de algunos casos especiales de curvas.

  4. Observa la hipocicloide (color blanco) y las hipocicloides acortadas (color rosa) que se obtienen con los valores de R y r considerados.

  5. Si deseas representar otra gráfica te recomendamos que utilices el botón iniciar y cambies los valores de los controles.

 

 

Actividad 10:

Cambia el valor de zoom para visualizar bien las curvas.

  1. Comprueba que ocurre si R=r

  2. Comprueba que si: R=4r; r=a obtienes la hipocicloide llamada astroide.

  3. Comprueba que si: R=3r; r=a obtienes la hipocicloide llamada deltoide.

  4. Manteniendo los demás valores iniciales varía el valor de R, utilizando las flechas, y observa las curvas que se obtienen.

  5. Practica con los valores de la tabla
Hipocicloide ordinaria

Hipotrocoide

corta

Hipotrocoide

alargada

R=10; r=4;

 a=4

R=10; r=4;

 a=3

R=10; r=4;

a=8
R=10; r=4;a=4

R=10; r=4;

a=2

R=10; r=4;

a=7
R=9; r=3; a=3

R=9; r=3;

a=1

R=9; r=3;

 a=7
R=7; r=4; a=4

R=7; r=4;

 a=2

R=7; r=4;

 a=6
R=10; r=5; a=5

R=10; r=5;

 a=2

R=10; r=5;

 a=0
R=10; r=2; a=2

R=10; r=2;

 a=1

R=10; r=2;

a=8

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  Ricardo Sarandeses Fernández
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002