El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta
En la escena se presenta a la izquierda el determinante de una matriz y a la derecha el de su traspuesta. Si variamos los valores de a, b, c, y d es difícil ver que ambos paralelogramos coinciden. Veamos primero geométricamente que coinciden con un ejemplo, después se verá de forma general que los dos determinantes son iguales.
Caso d=0
1. Tomar en la escena a=3, b=4, c=2 y d=0 aparentemente los dos determinantes que se obtienen, ¿son distintos?
2. Si arrastramos el vector de azul de la izquierda sobre la recta x=4, el área del paralelogramo de la izquierda no varía pues el vector base no se toca: la base siempre es 2 y la altura siempre es 4; y el área del paralelogramo de la derecha tampoco cambia ya que su vector base no se toca: la base siempre es 4, y la altura no varía.
3. Dejamos, mediante el procedimiento anterior, el vector azul sobre el eje de las y. Ahora es fácil ver que ambos determinantes coinciden.
El lector puede repetir el proceso tomando otros valores para a, b y c.
Una manera (válida para matrices cuadradas de cualquier orden) de ver aritméticamente que esta propiedad es siempre cierta