¡Juguemos con la hipérbola!

Además del ordenador necesitas papel, lápiz y calculadora para empezar a trabajar

¿Qué relación existe entre la longitud AB y la longitud CB si el área del rectángulo ABCD es 1?. Conocida AB, ¿cómo hallas CB?

Si el producto de dos magnitudes es constante se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.

La función de proporcionalidad inversa más sencilla es:

x.y =1 ó y=1/x

wpe54.jpg (1793 bytes) a) Completa esta tabla utilizando la gráfica:

-0.5

-100

-10

-0.1

100

-2

-1/4

0.05

0.5

-1

Y=1/x

2b) Indica qué valores de x tienen imagen positiva, qué valores tienen imagen cero y qué valores tienen imagen negativa.
2c) Desplaza el punto P de izquierda a derecha. Indica para qué valores de x las imágenes decrecen (la función es decreciente) y para qué valores de x las imágenes crecen (la función es creciente).
2d) ¿Qué ocurre cuando x toma valores cada vez más próximos a cero? Acércate a "0" tanto por la izquierda "0^-" (por ej. dando valores tales como -0.001, -0.0005...) como por la derecha "0⁺" (0.01, 0.005... ). Expresa en tu cuaderno esta situación de la manera más clara posible. Luego verás la breve notación que usan los matemáticos de todo el mundo.
2e) Aléjate de cero cada vez más por la derecha y por la izquierda; observa los valores que toman las imágenes. Exprésalo en tu cuaderno.

2f) Quizás ya te hallas fijado en la relación que existe entre las imágenes de un valor de x y su opuesto, anótalo. Las funciones que verifican esta propiedad reciben un nombre, a ver si lo averiguas.

Si al acercarnos cada vez más a cero por la izquierda las imágenes son cada vez más pequeñas (más grande negativamente), se dice que:

f(x) ® -¥ cuando x ® 0^-

Si al acercarnos cada vez más a cero por la derecha las imágenes son cada vez más grandes, se dice que:

f(x) ® +¥ cuando x ® 0⁺

La función en x=0 presenta una DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA y se dice que, la recta x=0 (eje Y) es una ASÍNTOTA VERTICAL.

Si al alejarnos cada vez más de cero por la izquierda las imágenes están cada vez más cerca del eje X, se dice que:

f(x) ® 0 cuando x ® -¥

Si al alejarnos cada vez más de cero por la derecha las imágenes se acercan a cero, se dice que:

f(x) ® 0 cuando x ® +¥

La recta y = 0 (el eje X) es una ASÍNTOTA HORIZONTAL.

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Con 100 cm² de chapa se desea construir un cilindro hueco. Forma una tabla con distintos valores del radio de la base y la altura. Escribe en tu cuaderno la función correspondiente y edítala en la casilla que está encima del botón inicio (en el mismo lugar que está la función y=1/x y borrando ésta). (usa "pi" para representar al número pi).

¿Estas magnitudes son directa o inversamente proporcionales?

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Vamos a hacer pequeñas modificaciones

sobre la función y=1/x

compararemos las gráficas resultantes

Empezamos multiplicándola por un número positivo, pero no nos limitaremos a los números naturales.

Representa las funciones: y=1/x, y=4/x, y=1/(3x), y=2/(3x) y otras que tú propongas. Escribe lo que observas. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cuáles crees que decrecen más deprisa? ¿Cuáles son más cerradas?

Copia la siguiente tabla y completa la información para cada una de las funciones anteriores:

Función	Coeficiente de 1/x	Asíntota		Signo de la función		Crecimiento
Función	Coeficiente de 1/x	Vertical	Horizontal	(-¥ ,0)	(0,+¥ )	(-¥ ,0)	(0,+¥ )
Y=1/3x	1/3	X=0	Y=0	negativa	positiva	decrecien	decrecien

4b) Seguramente tendrás curiosidad por descubrir qué ocurre si multiplicamos la función por un número negativo, prueba sobre los ejes anteriores con las funciones:

y=- 1/x, y=-5/x, y=1/(-10x), y=-3/(7x), ...

Añade a la tabla anterior las filas correspondientes a estas nuevas funciones.

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Propón otras modificaciones sencillas

de la función y=1/x

Quizás has pensado sumarle o restarle una constante: pulsa~