LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS.

TRAZADO

LA HIPÉRBOLA

La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante

PF' - PF = 2a

o bien

PF - PF' = 2a

En una hipérbola podemos encontrar los siguientes elementos:

  1. Los radios vectores de un punto P son los segmentos PF y PF'.

  2. El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F'.

  3. El eje secundario es la mediatriz del segmento FF'.

  4. El centro de la hipérbola es el punto O donde se cortan los ejes. El eje focal y el eje secundario son ejes de simetría de la hipérbola y el centro O es también el centro de simetría.

  5. La distancia focal es el segmento FF', que se designa como en la elipse por 2c, es decir, OF = OF' = c

  6. Los vértices son los puntos A, A', B, B' . Los vértices A y A' son los puntos de corte del eje focal con la hipérbola. Los vértices B y B' son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF

  7. El eje transverso o eje real es el segmento AA'.

  8. El eje no transverso o eje imaginario es el segmento BB'.

Con la siguiente escena puedes observar como se construye la hipérbola. En ella puedes ver todos los elementos de que consta, además puedes comprobar que cumple la condición que la define, esto es:

PF' - PF = 2a o bien PF - PF' = 2a

donde 2a es una longitud constante.

Toda hipérbola consta de dos ramas; para conseguir dibujar la segunda rama, debes dar valores negativos al parámetro "a"

 

Actividad 1

  1. Dibuja en tu cuaderno de trabajo una hipérbola e identifica todos los elementos enumerados anteriormente.

 

Longitudes de los ejes. Relación entre a, b y c. Excentricidad

Observa la siguiente escena donde se representa una hipérbola. De ella puedes deducir cuáles son las distancias de los ejes:

OA = a

OB = b

OC = c

Entre estos valores se cumple la relación

c^2 = a^2 + b^2

El obtener la distancia b es muy sencillo. Sólo tienes que tomar una circunferencia de radio c y con centro en uno de los vértices, en este caso A. El punto de corte de la circunferencia con el eje no transverso es el punto B.

Eje transverso:

AA' = 2a

Eje imaginario:

BB' = 2b

Distancia focal:

FF' = 2c

En esta primera escena hemos tenido la posibilidad de variar las distancias a y c, siendo la distancia b la que se obtiene de realizar la operación b = sqrt(c^2 - a^2) (sqrt es la expresión que se utiliza para indicar que se trata de una raíz cuadrada. Al igual que en el caso de la elipse el símbolo ^ significa que una base está elevada a una potencia).

Si observas varias hipérbolas te darás cuenta de que unas tienen las ramas más abiertas que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente entre c y a

 

 

e = c / a

donde c>a

 

Actividad 2

  1. En una hipérbola, el eje transverso AA' = 6 cm, y el eje imaginario BB' = 8 cm.

    a) ¿Cuál es la distancia focal de la hipérbola?.

    b) ¿Cuál es su excentricidad?

  2. La excentricidad de una hipérbola es 5/3 y la de otra es 3/2. ¿Cuál de las dos es más cerrada?
  3. Demuestra en tu cuaderno que b = sqrt(c^2 - a^2)

Asíntotas de la hipérbola

 

Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.

Son dos, y sus ecuaciones son las siguientes:

y = b . x / a

e

y = - b . x / a

 

Varía el valor de la escala y comprobarás cómo las asíntotas se aproximan indefinidamente a las ramas de la hipérbola pero nunca llegan a tocarlas.

Observa también cómo los puntos A, A', B y B' forman un rectángulo cuyos vértices se encuentran en las asíntotas.

 

Actividad 3

  1. Calcula el valor del semieje imaginario b de la hipérbola cuyo semieje transverso, a , vale 5, y cuya excentricidad e = 1,5

  2. Halla las ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola de la actividad anterior.

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Introducción La Elipse La Parábola

Autor: Manuel Alonso Benito