Vamos a ver, por fin, la ecuación completa de la parábola, es decir la parábola cuya ecuación es y=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales distintos de cero.
Una vez más, vamos a tomar como punto de partida el caso anterior, la parábola de ecuación y=ax2+bx. Te proponemos, de nuevo, que seas tú quién, experimentando con las pautas que te proponemos, descubras y escribas en tu cuaderno las propiedades y ejemplos.
PRACTICA
- Dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con la gráfica de la parábola?
- Cambia ahora los valores de los otros dos parámetros, a y b; ahora, para esos valores fijos de a y b; dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con la gráfica de la parábola? Repite los pasos anteriores varias veces?
Corte con el eje X: Al igual que en el caso anterior, habrás podido observar que los puntos de corte con el eje X, al estar sobre dicho eje, deben tener su coordenada y=0; es decir deben verificar que ax2+bx+c=0; de tal modo que las abscisas x1 y x2, de los puntos en que la parábola corta al eje X, serán caso de existir, las soluciones de esta ecuación de segundo grado, que como recordarás son:
- Puedes variar los diferentes parámetros de la parábola e ir observando cómo y dónde están los puntos de corte con el eje X.
- Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola no corte al eje X. ¿Qué es lo que ocurre? (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno la ecuación de la parábola que no corta al eje X e intentes resolverla ¿puedes?).
- Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola corte al eje X en un único punto. ¿Qué es lo que ocurre? (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno la ecuación de la parábola que corta al eje X en un único punto e intentes resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?).
- Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola corte al eje X en dos puntos. ¿Qué es lo que ocurre? (Te sugerimos que escribas en un tu cuaderno la ecuación de la parábola que corta al eje X en dos puntos e intentes resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?).
- Eje de simetría: Deja fijos los valores de los parámetros a y b y dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con el eje de simetría de estas parábolas?
- Dale ahora otro par de valores a los parámetros a y b, y vuelve a darle diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con estas parábolas?
- ¿Qué relación observas entre el eje de simetría de la parábola de ecuación y=ax2+bx+c y el de la parábola de ecuación y=ax2+bx?
- ¿Cuál es la abscisa de todos los puntos del eje de simetría de la parábola?
Vértice: Habrás observado que el vértice de la parábola está situado siempre sobre el eje de simetría de la misma y, además después de responder a la pregunta nº 7 anterior, sabrás que dicho vértice tiene por abscisa xo=-b/2a. Por tanto la ordenada yo correspondiente al vértice se obtiene sustituyendo el valor xo=-b/2a anterior en la ecuación de la parábola.
- Con los valores fijos de los parámetros a y b, dale diferentes valores al parámetro c. Comprueba cuáles son las coordenadas del vértice. Haz lo mismo para valores distintos de a, b y c.
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Autor: Pedro José Herrero Piñeyro