CIRCUNFERENCIA 4
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA

Dados dos puntos del plano A(Ax,Ay) y B(Bx,By) hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia a A es k veces la distancia a B.

 

Varía los valores de los parámetros de la siguiente escena. Arrastra el punto P y observa simultáneamente los textos que aparecen.
1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena " puntos A(-6,0) y B(0,0) y K=2 " y compara el resultado con el de la escena.

2.- Lo mismo que en el apartado anterior para los puntos A(3,6),  B(3,-2) y K=3.

3.- Pulsa el botón inicio, haz K=1 y arrastra el punto P. Obtén analíticamente el lugar geométrico correspondiente y escribe su nombre.

2. PRÁCTICA SEGUNDA
En un triángulo de vértices A(Ax,Ay), B(Bx,By) y C(Cx,Cy) dejamos fijo el vértice A y giramos el triángulo en torno a él. Identifica el lugar geométrico descrito por los otros vértices B y C. Halla su ecuación y señala qué figura forman.

Es fácil, en este caso, intuir cuáles son los lugares geométricos pedidos. Compruébalo en la escena pulsando el botón animar. Cada vez que varíes los valores de las coordenadas de los vértices limpia la  escena pulsando el botón limpiar.
1.-  Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena "A(0,0), B(1,3) y C(-5,2)". Compara el resultado con el que aparece en la escena.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

2.- Lo mismo que en el apartado anterior para "A(0,1), B(2,5) y C(-2,5)". Explica el resultado y compruébalo.

3.- Resuelve el problema para los valores Ax=0, Ay=0, Bx=3, By=4, Cx=0 y Cy=4. ¿Cómo es el triángulo ABC?. Demuestra que el área de la corona circular (en gris claro) es igual al área del círculo de centro B y radio BC (en gris oscuro).
3. PRÁCTICA TERCERA
Dado el punto P(x0,y0), la recta r: Ax+By+C=0 y el número real positivo R, hallar los centros de las circunferencias que pasan por P, son tangentes a r y tienen radio R.

La escena que viene a continuación nos da la solución y nos sugiere un método para llegar a ella si damos el valor 1 al control numérico ayuda: observa que los centros de las circunferencias pedidos son la intersección de la recta r´ (paralela a r y distante de ella R unidades) y la circunferencia de centro P(x0,y0) y radio R.

Varía los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena y observa el resultado. 

1.- Resuelve el problema para los valores zoom=8, 0.x = 32, O.y=160, x0=8, y0=12, R=5*sqrt(2) "cinco por raíz cuadrada de 2", A=1, B=-1 y  C=0. 

La ecuación de r´(de la forma Ax+By+K=0) corresponde a la de la paralela a r cuya distancia a ella es R y que está en el mismo semiplano que P (de los dos que determina r), es decir: signo(A·x0+B·y0+K) =signo(A·x0+B·y0+C)

2.- Resuelve el problema para los valores x0=0, y0=0, R=3, A=0, B=1 y C=3. 

3.- Resuelve el problema para los valores x0=0, y0=1, R=3, A=0, B=1 y C=5. 

4.- Haz R=2 y conserva los demás datos del apartado anterior. ¿Qué ocurre?.

5.- A la vista de los apartados anteriores, ¿qué relación hay entre la distancia de P a r y 2R con el número de soluciones.

4. PRÁCTICA CUARTA
Dados dos puntos A(Ax,Ay) y B(Bx,By) y un  ángulo Aº, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano desde los que se ve el segmento de extremos A y B bajo el ángulo Aº .

Varía los valores de los controles numéricos, mueve los puntos de control gráficos y observa en la escena que el lugar geométrico pedido (arco capaz) está formado por dos arcos de circunferencia simétricos respecto al segmento AB tales que si C es su centro el ángulo ACB es igual a 2·Aº, pues éste es el ángulo central correspondiente a los ángulos inscritos APB. El centro C está en la mediatriz de AB "recta r que tiene la dirección perpendicular al vector AB y pasa por el punto medio de A y B, M". Después puedes utilizar el producto escalar de los vectores CA y CB para hallar los centros C de los arcos buscados. Para entender mejor lo anterior da el valor 1 al control numérico ayuda y fíjate en la escena.

1.-  Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (Ax=5, Ay=-2, Bx=1, By=2 y Aº=45).  

Puedes expresar C utilizando la ecuación paramétrica de r:
x=Mx+t·uy
y=My-t·ux, siendo t real y AB=(ux,uy) con ux=Bx-Ax y uy=By-Ay.

2.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (Ax=0, Ay=-3, Bx=0, By=3 y Aº=45).  

usa los pulsadores de colores que hay junto al zoom y junto a los ejes OX y OY para centrar la imagen.
 3.- Resuelve el problema analíticamente para los valores Ax=6, Ay=-1, Bx=2, By=1 y Aº=26.56505118 "cos(2·Aº)=2/Ö5".  
       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001