ELIPSE 2
Bloque: Geometría
 

1. PRÁCTICA PRIMERA
Dado un punto P(P.x,P.y) y una elipse de ejes paralelos a los de coordenadas, centro C(x0,y0) y semiejes a y b, hallar la posición relativa del punto  P respecto a la elipse.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena x0, y0, a, b y mueve el punto P arrastrándolo con el ratón (o variando los controles numéricos P.x y P.y). En los textos de la escena observa cómo varía PF+PF´ según la posición de P.

Los focos F y tienen de ordenada y0 y de abscisas x0+c y x0-c respectivamente, siendo c la semidistancia focal (a2=b2+c2).

1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena ( x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=5.0 y P.y=5.0). En el primer miembro de la ecuación de la elipse sustituye x e y por los valores de P.x y P.y y compáralo con 1.
Recuerda la definición bifocal de elipse: lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican PF+PF´=2a, siendo F y F´...

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=6.0 y P.y=2.0

3.- Igual que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=1.0 y P.y=4.0

4.- A la vista de los apartados anteriores escribe dos criterios diferentes para estudiar la posición relativa de un punto y de una elipse. 

5.- Elige una elipse cualquiera y un punto exterior a ella (por ejemplo, para los valores iniciales de la escena). Observa la escena y justifica cada paso de la siguiente cadena de igualdades/desigualdades: PF+PF´=PF+(PM+MF´)=(PF+PM)+MF´>MF+MF´=2a. Relaciónalo con los apartados anteriores.

6.- Utiliza los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=6.0 y P.y=2.0 y observa la escena. Justifica cada paso de la siguiente cadena de igualdades/desigualdades: PF+PF´=PF+(MF´-PM)=MF´+(PF-PM)<MF´+MF=2a. Relaciónalo con los apartados anteriores.


2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada una recta r: Ax+By+C=0 y una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, centro C(x0,y0) y semiejes a y b, hallar la posición relativa de la recta r y de la elipse.

Una recta, respecto de una elipse, puede ser  exterior, si no tiene puntos comunes con ella; secante, si tiene dos puntos comunes; y tangente si tiene un punto en común (punto doble).

El sistema formado por las ecuaciones de la elipse y de la recta es un sistema de segundo grado cuya discusión siempre da lugar a una de las situaciones anteriores. 

1.- Estudia la posición relativa de la elipse y de la recta correspondientes a los valores iniciales de la escena. Halla los puntos comunes si existen.
El botón Animar introduce movimiento en la escena.

2.-Lo mismo que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=0, C=-6.

3.-Resuelve la práctica para x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=4.

4.-Para la elipse inicial elige tres rectas horizontales (dando valores a A, B y C)  de manera que sean exterior, secante y tangente respectivamente.


3. PRÁCTICA TERCERA

Consideremos una circunferencia de centro F y radio 5 y un punto cualquiera interior a la misma. Sea A un punto que recorre la circunferencia.

a) Demostrar que el lugar geométrico de los puntos P de intersección del radio AF y de la mediatriz del segmento AF´ es una elipse.

b) Demostrar que dicha mediatriz es la tangente a la circunferencia en el punto P.

La presente escena nos permite visualizar el lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado. 

1.- Demuestra el apartado a) para Fx=-3 y Fy=0 y halla la ecuación de la elipse resultante. Pulsa en inicio y busca una sugerencia dando el valor 1 en el control ayuda (0 para ocultar).

2) Demuestra el apartado b) para Fx=-3 y Fy=0. Pulsa en inicio y busca una sugerencia dando el valor 2 en el control. El punto Q que aparece es un punto cualquiera de la mediatriz del segmento AF´ que puedes arrastrar con el ratón.
El botón inicio restaura los valores iniciales.


       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001