ELIPSE 4
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA
Dados los números a y c consideremos la circunferencia C de centro F´(-c,0) y radio 2a, es decir, C: (x+c)2+y2=(2a)2. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias C´que son tangentes a  C  y pasan por el punto F(c,0) "cuando F es interior a C".

La siguiente escena nos dibuja el lugar geométrico pedido sin más que variar los valores de los controles numéricos a y c de la escena y arrastrar el punto P. Observa el resultado. 

Para la resolución analítica del problema, si C´: (x-x0)2+(y-y0)2=r2 es la circunferencia cuyo centro Q(x0,y0) describe el lugar geométrico que buscamos, hemos de tener en cuenta que como C´pasa por F(c,0), se tiene que (c-x0)2+y02=r2  (*) y, como C y C´son tangentes interiormente, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios, es decir, Ö((x0+c)2+y02)=2a-r  (**). Eliminando r entre las ecuaciones  (*) y  (**) se obtiene la ecuación del lugar.
1) Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (a=5, c=3).

2) Resuelve el problema analíticamente para (a=5, c=0). ¿Qué se obtiene en este caso?.

El botón Limpiar borra el rastro del punto P que describe el lugar geométrico.

2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dados los puntos F(Fx,p), G(Gx,p) y Q(x1,y1) hallar la ecuación, los vértices y la excentricidad de la elipse que pasa por Q y cuyos focos son F y G.

Observa que la ordenada de los focos F y G es la misma y, por tanto, la elipse tiene los ejes paralelos a los ejes coordenados. Su ecuación es de la forma (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 siendo C(x0,y0), coordenadas del centro de la elipse, el punto medio de F y G. Para el cálculo de a y de b recuerda que a2=b2+c2 siendo 2c=d(F,G) y d(Q,F)+d(Q,G)=2a.

 

1.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (Fx=-5, Gx=7, p=1, x1=3, y1=4). Comprueba los resultados con los que aparecen en los textos de la misma.

2.-Lo mismo que antes para los valores (Fx=-4, Gx=4, p=0, x1=5/3*Ö5, y1=2).

Escribe 5/3*sqrt(5) en la celda blanca del control x1  y pulsa intro para darle el valor 5/3*Ö 5 "cinco tercios de raíz cuadrada de 5".

3.-Elige valores de Fx y Gx tales que Fx=Gx. ¿Qué elipse se obtiene en este caso?
3. PRÁCTICA TERCERA

Consideremos la elipse E1 de ecuación x2/a2+y2/b2=1 sobre la que rueda sin deslizamiento otra elipse E2 también de semiejes a y b. Hallar el lugar geométrico de los focos G y G´de E2 

Si pulsas en el botón animar la siguiente escena te permitirá ver cómo se mueve E2 alrededor de E1 y el lugar geométrico descrito por los focos de E2.

Para las elipses E1 y E2 de la escena, a=5 y c=4.

1.- Si P es el punto de contacto de las elipses E1 y E2 ¿cuánto vale PF+PF´?. y ¿PG+PG´?

Usa los botones de los controles de la animación para parar, reanudar, avanzar...
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

2.- Halla razonadamente el valor de G´F´ y el de GF. Escribe el lugar geométrico de los focos G y G´.

       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001