HIPÉRBOLA 1
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA
Hallar a2 y b2 , los focos, los vértices y las asíntotas de la hipérbola x2/a2-y2/b2=1, sabiendo que es tangente a una recta dada y=mx+n en un punto de abscisa dada x0.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Una forma de abordar el problema consiste en considerar la expresión x·x0/a2-y·y0/b2=1,  que es la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto (x0,y0), pasarla a forma explícita e identificar sus coeficientes con los de y=mx+n. Resolviendo el sistema resultante se obtiene a2 y b2 . 

Para la hipérbola con eje focal coincidente con el eje OX, los vértices V y V´ tienen de abscisa a y -a y de ordenada 0, los focos F y F´ tienen de abscisa c y -c y de ordenada 0 y las asíntotas son y=b·x/a e y=-b·x/a. Para la hipérbola con eje focal coincidente con el eje OY, los vértices V y V´ tienen de ordenada a y -a y de abscisa 0, los focos F y F´ tienen de ordenada c y -c y de abscisa 0 y las asíntotas son y=a·x/b e y=-a·x/b. En ambos casos c verifica a2+b2=c2.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado.
1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales (x0=-2, m=2, n=1) y compara el resultado con el de la escena .
El botón inicio restaura los valores iniciales.

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=-3, m=-0.5, n=0.5.

2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada la recta r: y=mx+n y la hipérbola H: x2/a2-y2/b2=1, hallar la ecuación de las rectas tangentes a H que son paralelas a r. Hallar los puntos de tangencia.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Una forma de abordar el problema consiste en considerar la expresión x·x0/a2-y·y0/b2=1 (*),  que es la ecuación de la recta tangente a la hipérbola en el punto desconocido (x0,y0), pasarla a forma explícita e identificar su pendiente con m "pendiente de r: y=mx+n", obteniendo así la ecuación m=b2 ·x0/(a2·y0) (**). Por otra parte como los puntos de tangencia (x0,y0) pertenecen a la hipérbola verificarán su ecuación, es decir, x02/a2-y02/b2=1 (***). Resolviendo el sistema formado por (**) y (***)  se obtienen las coordenadas de los puntos de tangencia x0 e y0. Finalmente sustituyendo estos valores en (*) tendremos las ecuaciones de las tangentes.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado.

1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores de la escena  a=Ö3, b=Ö2, m=1, n=0.

Haz a=Ö 3 " raíz cuadrada de 3" escribiendo sqrt(3) en la casilla blanca del control a. Lo mismo para a=Ö 2 

2.- ¿Qué ocurre si sólo varías el valor de la n?.

3.- Varía m y di cómo es la recta y=m·x+n con respecto a la hipérbola cuando el problema no tiene solución.

4.- ¿En la escena inicial haz m=0.75 "b/a". Explica qué ocurre en este caso.
3. PRÁCTICA TERCERA
El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos F(p,q) y F´(r,s) vale k es una hipérbola. Hallar su ecuación,  las coordenadas del centro y de los vértices y la excentricidad.

Varía los valores de los parámetros de la escena y observa los resultados. Para la resolución del problema aplica directamente el enunciado (elimina las raíces que aparecen al hallar la ecuación de la hipérbola). Teniendo en cuenta la relación que hay entre k y a  (k=2a), puedes obtener A y A´ como intersección del eje focal “recta que pasa por los focos” y la circunferencia de centro C (punto medio de F y F´) o bien como intersección de dicho eje y la hipérbola.

1-  Resuelve analíticamente la práctica anterior para los valores p=5, q=0, r=-5, s=0 y k=6.

2.- Lo mismo para p=7, q=1, r=-3, s=1 y k=6.  

Varía adecuadamente los valores de 0.x, 0.y o zoom para centrar la hipérbola.

3.- Lo mismo para p=1, q=0, r=0, s=-3 y k=2.

       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2002