REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO

AL PRIMER CUADRANTE

Introducción

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaba esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante.

No obstante el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.

Trabajaremos con circunferencias goniométricas, es decir, de radio 1.

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (es el radio) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON

En consecuencia

sen (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sen A
cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno:

tg (180º-A) = sen (180º-A)/cos(180º-A) = sen A / - cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son:

sen (180º-A) = + sen A
cos(180º-A) = - cos A
tg (180º-A) = - tg A

EJERCICIOS

§§§ Dado el ángulo 127º reducirlo al primer cuadrante.
SOLUCIÓN:
El ángulo 127º se encuentra en el segundo cuadrante. Su suplementario es 180º - 127º = 53º, tenemos entonces
sen 127º = sen 53º; cos 127º = - cos 53º; tg 127º = - tg 53º

§§§ Dados los ángulos 135º, 133.45º, 109,5º reducirlos al primer cuadrante.

§§§ Sabiendo que el sen A = 0,5 obtener los valores posibles para A.
SOLUCIÓN:
Al ser el seno positivo, A puede ser del primer o del segundo cuadrante.
sen A = 0,5 entonces A = arcsen 0,5 = 30º
Las soluciones son A = 30º y su suplementario A = 150º

§§§ Sabiendo que el sen A = 0,85 obtener los valores posibles para A
§§§ Sabiendo que el sen A = 0,12 obtener los valores posibles para A

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º

Si el valor de un ángulo es "A", el valor del otro ángulo que se diferencia en 180º será "180º+A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de 180º+A va a permitir "reducir" ángulos del tercer al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º+A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON

En consecuencia

sen (180º+A) = segmento (180º+A)N = - segmento AM = - sen A
cos(180º+A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (180º+A) = sen (180º+A)/cos(180º+A) = - sen A / - cos A = tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º son:

sen (180º+A) = - sen A
cos(180º+A) = - cos A
tg (180º+A) = + tg A

EJERCICIOS

§§§ Dado el ángulo 215º reducirlo al primer cuadrante
SOLUCIÓN:
El ángulo 215º se encuentra en el tercer cuadrante. Este ángulo se diferencia 180º con 215º - 180º = 35º , tenemos entonces
sen 215º = - sen 35º; cos 215º = - cos 35º; tg 215º = tg 35º

§§§ Dados los ángulos 235º, 233.45º, 199,5º reducirlos al primer cuadrante

§§§ Sabiendo que el tg A = 1 obtener los valores posibles para A
SOLUCIÓN:
Al ser la tg positiva, A puede ser del primer o del tercer cuadrante.
tg A = 1, entonces A = arctg 1 = 45º
Las soluciones son A = 45º y A = 135º

§§§ Sabiendo que el tg A = - 0,75 obtener los valores posibles para A
§§§ Sabiendo que el tg A = 0,50 obtener los valores posibles para A

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

Si el valor de un ángulo es "A", el valor de su opuesto es obviamente -A

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de su opuesto -A va a permitir "reducir" ángulos del cuarto al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (OA = O(-A)) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (-A)ON = A

En consecuencia

sen (-A) = segmento (-A)N = - segmento MA = - sen A
cos(-A) = segmento ON = segmento OM = cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (-A) = sen (-A)/cos(-A) = - sen A / cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos son:

sen (-A) = - sen A
cos(-A) = - cos A
tg (-A) = + tg A

EJERCICIOS

§§§ Dado el ángulo 330º reducirlo al primer cuadrante
SOLUCIÓN:
El ángulo 330º se encuentra en el cuarto cuadrante. Este ángulo viene representado por el mismo radio vector que el ángulo -30º, tenemos entonces
sen 330º = sen (-30º) = - sen 30º ; cos 330º = cos (-30º) = cos 30º; tg 330º = tg ( -30º) = - tg 30º

§§§ Dados los ángulos 335º, 283.45º, 299,5º reducirlos al primer cuadrante

§§§ Sabiendo que el cos A = 0,5 obtener los valores posibles para A
SOLUCIÓN:
Al ser el coseno positivo, A puede ser del primer o cuarto cuadrante.
cos A = 0,5, entonces A = arccos 0,5 = 30º
Las soluciones son A = 30º y A = 330º

§§§ Sabiendo que el cos A = - 0,75 obtener los valores posibles para A
§§§ Sabiendo que el cos A = 0,35 obtener los valores posibles para A

Autor: Juan Egea Cárceles