UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE EL CURSO DESCARTES
SEMEJANZAS EN EL PLANO
1.- Lados paralelos
2.- Lados no paralelos igual orientación
Esta unidad didáctica está destinada a alumnos de ESO que realicen un crédito variable de geometría.
La semejanza en el plano se puede definir con homotecias, giros, simetrías o una combinación de estas operaciones. En todos los apartados se incluirá la homotecia cuyo factor aparece como parámetro k; basta asignar valor 1 a este parámetro para que desaparezca la homotecia.
La figura básica es el triángulo. Se han asignado controles a los vértices el triángulo ABC para poder apreciar mejor las propiedades de la semejanza.
1. Figuras de lados paralelos.
La figura plana más sencilla es el triángulo. Cualquier otra figura, de lados rectos, puede descomponerse en triángulo. Por tanto se estudiará un sólo triangulo.
Dos figuras son semejantes si conservan la forma y las proporciones.
Los elementos que se corresponden en una semejanza se llaman homólogos. Asi, en la figura, son homólogos los lados AB con PQ, AC con PR y BC con QR asi como los ángulos: A con P, B con Q y C con R.
Es este caso también se mantiene la orientación de la figura, es decir, el orden correlativo de los elementos (vértices, lados, ángulos).
Propuestas prácticas:
1.- Modifica el valor del parámetro y observa la variación de la longitud de los lados de los triángulos y la variación del cociente (razón de homotecia) de los lados homólogos.
2.- Mueve los vértices del triángulo ABC. ¿Que ocurre con los vértices del triángulo PQR? ¿Que ocurre con el vértice P al mover A? ¿A qué crees que es debido?.
3.- Mueve los vértices hasta superponer dos lados homólogos. Prueba con cada par de lados. Observa cómo en este caso el valor del cociente es constante.
4.- Observa en el siguiente escenario cómo se obtiene el centro de homotecia. ¿Varía al modificar la razón? ¿Y al mover los vértices?
2. Figuras de lados no paralelos.
En este caso, además de la homotecia, se incluye un giro con centro en el origen de coordenadas. En este caso
La figura plana más sencilla es el triángulo. Cualquier otra figura, de lados rectos, puede descomponerse en triángulo. Por tanto se estudiará un sólo triangulo.
Propuestas prácticas:
1.- Modifica el valor del ángulo y observa que tanto la longitud de los lados como la razón no varía.
2.- Mueve los vértices del triángulo ABC hasta hacerlos coincidir con sus homólogos. ¿Que ocurre?. ¿Qué se debería hacer para que esto fuese posible?.
3.- ¿Cómo son las figuras si la razón es 1 y el ángulo 180º? Intenta unir con líneas los vértices homólogos. Observa la escena siguiente.
4.- Haz coincidir los vértices A y P. ¿Qué observas? Modifica ahora la razón.
Ahora la orientación de los vértices (sentido de giro ABC y PQR) son distintos. Se ha obtenido mediante una simetría axial respecto al eje de ordenadas OY , un giro y una homotecia.
Observa cómo se mantienen las proporciones de los lados.
1.- Modifica los valores de la razón y del ángulo. Mueve los vértices del triángulo ABC.
2.- Haz coincidir dos vértices homólogos. Verás que sólo es posible en el origen O de coordenadas.
3.- Habiendo hecho coincidir dos vértices homólogos, haz coincidir dos lados. Para ello fija la razón a=1. ¿Qué ocurre?
3. Resumen.
Ahora que has practicado con los distintos casos de semejanza debería saber hacer un esquema con las propiedades generales.
1.- Haz un esquema en el que figuren los rasgos generales de la semejanza y las características de cada caso al aplicar los tres principios básicos (homotecia, giro y simetría axial) en solitario o combinados.
Autor: Carlos Marcén Giménez