Traslaciones, Simetrías y Giros

3º de E.S.O.

 
Movimiento
Es toda transformación que conserva la forma y el tamaño de las figuras.

Las figuras así obtenidas son homólogas de las de partida.

Si te miras en un espejo, verás tu imagen reflejada en el mismo. Si ésta no aparece deformada, lo anterior es un ejemplo de un movimiento llamado simetría.

Mediante otro movimiento llamado traslación se puede rellenar un plano. Basta con repetirlo indefinidamente aplicado a una figura. Un buen ejemplo de lo que te estoy diciendo lo puedes ver en el suelo o las paredes de la cocina o el cuarto de baño de tu casa.

Vector. Características y suma de vectores.

Es un segmento orientado.

En las figuras siguientes puedes ver dos vectores fijos con el mismo módulo (su longitud), la misma dirección (están contenidos en dos rectas paralelas) y el mismo sentido (indicado por la flecha, va desde el origen A hasta el extremo B).

Dichos vectores se llaman equipolentes.

1. Mueve el extremo y el origen del vector de la figura de la derecha hasta que obtengas otro vector equipolente a los anteriores. Apunta en tu cuaderno las coordenadas del extremo y las del origen en una tabla similar a la que te indico a continuación ¿Serías capaz de obtener alguno más? ¿Puedes hacerte una idea de cuántos?

Coordenadas extremo

Coordenadas origen
   

Si a las coordenadas del extremo de un vector le restas las de su origen obtienes otro par de coordenadas que se llaman coordenadas o componentes del vector.

2. En las figuras anteriores, las coordenadas de cada vector son las que aparecen en el mismo color de la flecha. Fíjate que los vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas. Vuelve a la tabla que confeccionaste en el ejercicio anterior y añade una tercera columna como te indico a continuación.

Coordenadas extremo

Coordenadas origen

Coordenadas vector
     

Complétala y observa si cometiste algún fallo.

Para sumar dos vectores geométricamente se representa uno de ellos y, con origen en su extremo, se representa el otro. El resultado será un vector con origen en el origen del primero y con extremo en el extremo del segundo.

3. Varía los vectores que te doy en la figura anterior y, con lo que vayas obteniendo, ves completando la tabla siguiente

Coordenadas de un vector

Coordenadas del otro vector

Coordenadas del vector suma

 

    

A la vista de los resultados anteriores, obtén una fórmula para calcular las coordenadas del vector suma sin necesidad de realizar la suma geométrica.

Traslación
Es un movimiento que traslada cada punto A del plano una distancia fija en una dirección y un sentido hasta A'.

Una traslación viene dada por un vector de origen A y de extremo A' que se llama vector guía.

Aunque para trasladar una figura hay que trasladar todos sus puntos, a veces basta con trasladar algunos puntos particulares para obtener la figura trasladada.

Por ejemplo, para trasladar un polígono, basta con trasladar sus vértices, como puedes ver en la figura adjunta.

Si varías el vector guía recuerda que cualquier segmento y cualquier ángulo han de valer lo mismo que su trasladado. Además los ángulos conservan también la orientación.

 

 

4. Observa la figura anterior y dime cuál es el vector de traslación utilizado.

Completa la siguiente tabla con las coordenadas de los puntos que  te indico:

Punto de partida

Vector de traslación

Punto trasladado
     

¿Llegas a alguna conclusión sobre la manera de obtener las coordenadas de un punto trasladado si se conocen las del vector de traslación y el punto a trasladar? Si es así, procura enunciarla claramente.

5. Rellena la tabla siguiente, teniendo en cuenta que el vector guía tiene por coordenadas (5,2).

Puntos de partida

 Puntos trasladados

B(3,6)

  

C(-1,4)

  

D(3,-2)

  
Traslaciones sucesivas.

 

 

6. Al triángulo que obtuvimos en el ejercicio anterior le aplicamos ahora otra traslación. Fijándote en los datos de la figura adjunta, intenta adivinar cuál es el vector guía de la nueva traslación. Puede ayudarte a averiguarlo rellenar una tabla similar a la de ejercicios anteriores.

 

¿Existe alguna relación especial entre las coordenadas de los puntos de partida A, B y C y las de los puntos obtenidos tras la segunda traslación A2, B2 y C2?

 

La aplicación sucesiva de dos traslaciones es otra traslación  cuyo vector guía es la suma de los vectores guía de las dos primeras.

También se conoce como producto de traslaciones.

Simetría Axial respecto a una recta r.
Es una transformación que hace corresponder a un punto A otro A' tal que la recta r sea la mediatriz del segmento AA'

A la recta r se le llama eje de simetría.

 

 

Para hallar la simétrica de una figura hay que hallar los simétricos de todos sus puntos.

Pero, al igual que  ocurría con las traslaciones, para hallar el homólogo de un polígono basta con hallar los homólogos de sus vértices.

En la simetría axial, los segmentos homólogos son iguales y también la medida de los ángulos correspondientes pero invierte el sentido de los ángulos.

7. ¿Cómo hallarías la homóloga de una circunferencia en una simetría axial?

8. Busca los ejes de simetría de los siguientes polígonos:

  • Un triángulo equilátero
  • Un cuadrado
  • Un rombo
  • Un pentágono regular
  • Una circunferencia

9. Busca letras mayúsculas que tengan algún eje de simetría. Incluso puede que encuentres palabras, aunque es posible que tengas que buscar en otros idiomas.

Simetría Central respecto a un punto O.
Es una transformación que hace corresponder a un punto A otro A' tal que el punto O es el  punto medio del segmento AA'.

Al punto O se le llama centro de simetría

10. Intenta obtener la relación que cumplen las coordenadas de dos puntos simétricos respecto al centro O, origen de los ejes coordenados.

Puede ayudarte el completar la tabla que aparece a continuación:

 

Coordenadas punto Coordenadas simétrico
   

11. Busca polígonos que tengan centro de simetría.

12. Busca letras mayúsculas con centro de simetría.

 

Giro de centro O y ángulo orientado .
Es un movimiento que hace corresponder a cada punto A otro A' tal que las distancias OA y OA' son iguales y el ángulo AOA' es igual y con el mismo sentido que el del giro.

Para girar una figura hay que girar todos sus puntos. Para girar los polígonos es suficiente con girar sus vértices.

Los giros transforman figuras en otras iguales. Se conserva el sentido de los ángulos.

 

 

 

13. ¿Cuánto es lo mínimo que tienes que girar esta figura para que vuelva a coincidir con ella misma?

14. Busca polígonos que tengan centro de giro y halla los grados que tendrían que girar respecto al mismo para volver a coincidir con ellas mismas.

 

Frisos y mosaicos .
Un friso es un dibujo generado por la traslación de una figura base.

15. ¿Cuál es la figura base que se traslada para dar lugar al friso anterior? ¿Cuál sería el vector guía?
Un mosaico nos permite recubrir todo el plano trasladando una figura mínima que se llama loseta o tesela.

16. ¿Cuál es la tesela que se usa para formar el mosaico anterior?

17. Intenta crear algún friso y algún mosaico, especificando en cada caso la figura base que da lugar a los mismos.

Nota: Echa un vistazo a los dibujos del pintor M. Escher. Seguro que en tu libro de texto hay alguno pero los encontrarás casi todos en la siguiente dirección:

http://www.WorldOfEscher.com

Notas aclaratorias.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo por su punto medio.

Una figura plana tiene centro de giro si al girarla respecto a un punto se obtiene la misma figura.

       
           
 

Loreto Ayuso de la Calle 

 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001